En módulos hopfianos sobre anillos conmutativos noetherianos.

Question

Deje $R$ ser un conmutativa Noetherian anillo con unidad. Que nos llame a una $R$-módulo de $M$ a ser Hopfian si cada surjective endomorfismo $M \to M $ es inyectiva.

1) Si $M_1$ e $M_2$ son Hopfian módulos, a continuación, se $M_1 \oplus M_2$ necesariamente Hopfian ?

2) Si tenemos una secuencia exacta $0\to M_1 \to M\to M_2\to 0$ con $M$ Hopfian, a continuación, se $M_1$ e $M_2$ necesariamente Hopfian ?

Si estos no se cumplen, en general, hay condiciones adicionales en $R$ que haría es cierto ?

Answer 1

Tampoco es cierto para $R=\mathbb{Z}$ (es decir, para Hopfian abelian grupos).

Para (1) de la Esquina, dio un ejemplo de dos Hopfian abelian grops cuya suma directa no es Hopfian en

Rincón, A. L. S., Tres ejemplos de Hopficity de torsión libre de Abelian grupos, Acta de Matemáticas. Acad. Sci. Hung. 16, 303-310 (1965). ZBL0145.03302.

(2) es más fácil. $\mathbb{Q}$ es un Hopfian abelian grupo, pero tiene un cociente $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ que no es Hopfian, ya que la multiplicación por $n$ es surjective pero no inyectiva para cualquier $n>1$.