Grupo de homología integral de un 3-toro recortado un donut

Question

Sé que el grupo de homología integral de la variedad $M$ viene dada por $$ H_j(M,\mathbb{Z}) $$

También he probado que $H_j(T^3,\mathbb{Z})$ viene dada por $$ H_0(T^3,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}, $$ $$ H_1(T^3,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^3, $$ $$ H_2(T^3,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^3, $$ $$ H_3(T^3,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}, $$

¿Podríamos o podría sugerir cómo derivar $H_j(T^3 - D^2 \times S^1,\mathbb{Z})=?$ En particular $j=0,1,2,3$ . En su mayoría: $$ H_1(T^3- D^2 \times S^1,\mathbb{Z})=?, $$ $$ H_2(T^3- D^2 \times S^1,\mathbb{Z})=?, $$ donde elegimos el $T^3=S^1_x \times S^1_y \times S^1_z$ de tres círculos. Y elegimos que $ D^2 \times S^1= D^2 \times S^1_z$ donde su círculo es a lo largo del mismo círculo que $S^1_z$ de $T^3$ , mientras que el $D^2$ es un pequeño disco de dos.

Así que por $T^3- D^2 \times S^1$ , hacemos un pequeño barrio tubular cortado a lo largo de un $S^1_z$ círculo , recortado de la $T^3$ .

Gracias. <3

Answer 1

Queremos calcular los grupos de homología del conjunto $A:= \{(e^{it_1},e^{it_2}, e^{it_3}) \; | \; (t_1,t_2,t_3) \in (0+\delta,2\pi - \delta)^2\times [0,2\pi)\}$ .

Sobre cada $e^{it_3} \in S_z^1$ existe un conjunto que es homeomorfo a un cuadrado abierto, cuya deformación se retrae a un punto. Así, tenemos para cada $k$ que

$$ H_k(A) \simeq H_k(S_1\times (-1,1)^2) \simeq H_k(S_1\times \{pt\}) \simeq H_k(S^1) = \begin{cases} \mathbb{Z} , &k = 0,1\\ 0, &k > 1. \end{cases} $$ El hecho básico utilizado aquí es que si un mapa es una equivalencia de homotopía, entonces induce un isomorfismo de grupos de homología.