Demostrar que $2^{30}$ tiene al menos dos dígitos repetidos.

Question

Demuestra que $2^{30}$ tiene al menos dos dígitos repetidos.

Supongo que la pregunta me pide demostrar que $2^{30}$ tiene al menos un dígito que aparece dos veces. Corrígeme si me equivoco. (Más tarde comprobé $2^{30}$ tiene tres dígitos, cada uno de los cuales aparece dos veces, inicialmente pensé que si podía demostrar que $2^{30}$ tiene 11 dígitos, entonces podría probar lo indicado, pero calculé el número de dígitos solo para descubrir que tiene 10 dígitos).

Answer 1

$2^{30}$ tiene $10$ dígitos decimales, ya que $10^9 < 2^{30} < 10^{10}$. Si ninguno se repitiera, cada uno de los $10$ dígitos del $0$ al $9$ aparecería una vez. Pero si ese fuera el caso, la suma de los dígitos sería $45$, lo que haría que el número fuera divisible por $9$, y $2^{30}$ no lo es.

Answer 2

Así es como se puede demostrar que $2^{30}$ tiene exactamente diez dígitos con un cálculo mínimo.

Sea $x^3=2^{30}/10^9$ donde el exponente $3$ en $x$ proviene del máximo común divisor de los otros exponentes. Luego $x=2^{10}/1000=(2×8^3)/1000$. Podemos expresar $2×8^3$ con una serie de multiplicaciones simples y verificar que $1, por lo tanto $1 y $2^{30}$ debe tener diez dígitos comenzando con $<8$.

La demostración de Robert Israel para la pregunta mencionada puede entonces ser aplicada.