Si$\Bbb{R}^3\setminus \{0\}$ y$\Bbb{R}^3 \setminus \{0,1 \}$ son homeomorfos o no?

Question

Estoy pensando si los dos espacios de $\Bbb{R}^3 \setminus \{0 \}$ e $\Bbb{R}^3 \setminus \{0,1 \}$ son homeomórficos o no?

Supongo que no homeomórficos pero no puede averiguar la razón apropiada. Hasta ahora he llegado a la siguiente :

$S^2$ es una deformación retractarse de $\Bbb{R}^3 \setminus \{0\}$ donde yo creo que se puede deformar el espacio $\Bbb{R}^3 \setminus \{0,1 \}$ en dos esferas con un único punto en común, es decir, Cuña de dos Esferas ( Para esto, intentar ver la deformación visual). Pero esto significa que el espacio se trivial Primer grupo fundamental. Así que yo creo que esta idea de no trabajar...!!

Entonces, ¿cómo puedo distinguir a estos de espacio topológicamente. Cualquier sugerencia se agradece. Gracias.

P. S: me Deja claro que yo soy muy nuevo en topología Algebraica. Recientemente he comenzado la primera fundamentales de los grupos y sus propiedades y tratar de usarlo para distinguir dos espacios. Los espacios en los que la pregunta es muy aleatorio que pensé que podría ser resuelto mediante fundamentales de los grupos. Así que si estos dos espacios no se pueden distinguir mediante Topología General y herramientas en el Primer grupo Fundamental, a continuación, hágamelo saber. Gracias..

Answer 1

Si usted no desea utilizar algebraicas invariantes puede utilizar termina. He mostrado en este post que $\Bbb R^3-\{0\}$ (o $S^2\times \Bbb R$) tiene dos extremos. Usted puede convencerse a sí mismo (o demostrar) que $\Bbb R^3-\{0,(1,0,0)\}$ tiene tres extremos.

Edit: Para una prueba de que usted podría tomar la secuencia de subconjuntos compactos $$K_n=B_c(0,n)-B_o(0,1/n)\cup B_o(1,1/n).$$ $K_n$ es sólo de la bola cada vez más grande como $n$ aumenta, con dos agujeros en todo $0$ e $1$ más pequeño. Por construcción $(\Bbb R^3-\{0,1\})-K_n$ tiene tres componentes: $B_o(0,1/n)$, $B_o(1,1/n)$ e $\Bbb R^3-B_c(0,n)$. También la colección de $\{\stackrel{\circ}{K_n}\}_n$ cubre $\Bbb R^3-\{0,1\}$. Esto se explica cómo crear los tres extremos.

Answer 2

$\Bbb R^3 - \{0\}$ deformación se retrae a $S^2$ , mientras que el $\Bbb R^3 - \{0,1\}$ es homotópica (en realidad, la deformación se retrae) a $S^2 \lor S^2$ pero $S^2$ está claro que no es homotópica a $S^2 \lor S^2$ desde, $H_2 (S^2) \cong \Bbb Z$ pero $H_2 (S^2 \lor S^2) \cong \Bbb Z^2$ , lo $\Bbb R^3 - \{0\}$ no es homotópica a $\Bbb R^3 - \{0,1\}$ , y, por lo tanto, en particular, no homeomórficos!

Answer 3

Supongo que le gustaría una pista, pero que también se le dé la oportunidad de resolver los detalles usted mismo. Si los dos espacios fueran homeomorfos, también lo serían sus compactaciones de 1 punto. Es divertido averiguar cuáles son. Usando el teorema de van Kampen, uno puede mostrar que los grupos fundamentales de sus compactaciones de 1 punto son grupos que probablemente son conocidos por usted y que no son grupos isomorfos.

Answer 4

Esta pregunta es muy interesante (porque no he estudiado tanto la Topología Algebraica y la Geometría Algebraica) y estoy interesado en encontrar una prueba geométrica para este problema. En esta sección de respuestas, solo estoy compartiendo mi opinión por la visualización de los dos espacios.

Nota $1$: $\Bbb R^3$ es homeomórficos a la apertura de la unidad de esfera sólida $S^{3}{'}=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3:x^2+y^2+z^2< 1\}$.

Nota $2$: Si $L^1$ es un rayo en $\Bbb R^2$ (es decir, una línea de longitud infinita, aproximadamente), a continuación, la eliminación de un punto de la línea es topológicamente equivalente a la eliminación de un segmento de línea (de longitud finita) de que el rayo $L^1$. En una manera similar, podemos decir que la eliminación de un punto de una esfera sólida de radio $r$ (decir) es topológicamente equivalente a la eliminación de una pequeña esfera sólida (cuyo radio es $<r$) de la original de la esfera.

Ahora las siguientes imágenes muestran cómo el dado a los espacios. Este es homeomórficos a la eliminación de un punto de $S^3$

Este es homeomórficos a la eliminación de dos puntos de $S^3$

Lo que queda es que por lo que muestran estas dos figuras no son homeomórficos!

Siento que no soy capaz de aportar pruebas concretas para su problema. Por favor, hágamelo saber si he cometido algún error en esta discusión.