Evaluando la suma$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(2-\delta_m^0)(-1)^m \lambda_0}{a(\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a}))}\cos(m\pi x/a)$

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente suma$$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2-\delta_m^0}{a}\frac{(-1)^m \lambda_0}{\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a})}\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right)=\frac{\cos(\lambda_0 x)}{\sin(\lambda_0 a)}$$

He leído esto en un trabajo de investigación He tratado de evaluar la suma usando finito transformación de coseno Tenemos $$\frac{2}{a}\frac{1}{\lambda_0}+\frac{2}{a}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m \lambda_0}{\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a})}\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right)=f(x)$$ Así $$\frac{(-1)^m \lambda_0}{\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a})}=\int_{0}^{a} f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right) dx $$

Cómo encontrar a $f(x)$ ?

Y Es hay alguna otra manera de evaluar la suma ?

Gracias De antemano.

Answer 1

Centrándose en la tarea principal del problema en el OP voy a calcular la suma de partida en $m=1$ y soltando el general factor de $\lambda$, es decir, la expresión

$$f(x) = \frac{2 }{a} \sum _{m=1}^{\infty } \frac{(-1)^m \cos \left(\frac{\pi m x}{a}\right)}{\lambda ^2-\frac{\pi m}{a}}\tag{1}$$

Asumiendo $\lambda ^2 \lt \frac{\pi}{a}$ escribimos

$$\frac{1}{\lambda ^2-\frac{\pi m}{a}} = - \int_{0}^{\infty} e^{-t (\frac{\pi m}{a}-\lambda ^2)}\, dt\tag{2}$$

y

$$\cos(\frac{m \pi x}{a}) = \Re \exp(i \frac{m \pi x}{a})$$

Sustituyendo esto en $(1)$ /geométrica) suma puede ser realizado bajo la integral:

$$\sum _{m=1}^{\infty } (-1)^m \exp \left(\frac{i \pi m x}{a}\right) \exp \left(-t \left(\frac{\pi m}{a}-\lambda ^2\right)\right)\\= -\frac{e^{t \left(-\left(\frac{\pi }{a}-\lambda ^2\right)\right)+\frac{\pi t}{a}+\frac{i \pi x}{a}}}{e^{\frac{\pi t}{a}}+e^{\frac{i \pi x}{a}}}$$

La integración de la negativa de este a más de $t$ según $(2)$ y aplicando el factor que falta da

$$-\frac{2}{\pi} \left(-e^{\frac{i \pi x}{a}}\right)^{\frac {\lambda ^2}{\pi }} B(-e^{\frac{i \pi x}{a}},1-\frac {\lambda ^2}{\pi },0)\etiqueta{3}$$

Aquí $B$ es la función Beta incompleta se define por

$$B(z,a,b) = \int_{0}^{z} t^{a-1} (1-t)^{b-1}$$

Ahora tenemos que tomar la parte real.

La selección de las simplificado caso de $\lambda \to 0$ expresión $(3)$ reduce a

$$\frac{2}{\pi} \log \left(1+e^{\frac{i \pi x}{a}}\right)$$

La parte real y, por tanto, la suma es

$$f(\lambda\to 0)=\frac{1}{\pi} \log \left(4 \cos \left(\frac{\pi x}{2 a}\right)^2\right)\tag{4}$$

El caso de $0 \lt \lambda ^2 (\lt \frac{\pi}{a})$ puede ser extraído de $(3)$ así. Va a quedar como un ejercicio en el complejo de la aritmética para el lector.

Para cualquier $\lambda \ne \sqrt{\frac{\pi m}{a}}$ la suma puede ser expresada por la Hurwitz-Lerch trascendente de la siguiente manera

$$f= \frac{1}{\pi} \left( e^{\frac{i \pi x}{a}} \Phi \left(-e^{\frac{i \pi x}{a}},1,1-\frac {\lambda ^2}{\pi }\right) +e^{-\frac{i \pi x}{a}} \Phi \left(-e^{-\frac{i \pi x}{a}},1,1-\frac {\lambda ^2}{\pi }\right) \right)\etiqueta{5}$$

$\Phi $ se define como

$$\Phi(z,s,a) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k (k+a)^{-s} $$

Answer 2

Demasiado largo el comentario.

El problema de la suma de la $$S_1 = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2-\delta_{m0}}{a}\frac{(-1)^m \lambda_0}{\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a})}\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right),\tag1$$

donde $\delta_{ij}$ es el Kronekker símbolo,

puede ser considerado como un caso particular de $S_k$, donde $$S_k = \frac{1}{a}\frac{1}{\lambda_0} + \frac{2}{a}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m \lambda_0}{\lambda_0^2 -(\frac{m\pi}{a})^k}\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right).\tag2$$

Utilizando conocido exponencial de la serie de Fourier para la función coseno

$$\cos(bz) = \dfrac{2b\sin(b\pi}\pi\left(\dfrac1{2b^2}-\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{(-1)^m\cos(mz)}{m^2-b^2}\right)\tag3$$

con los valores $$b=\dfrac{\lambda_0a}\pi,\quad z = \dfrac{\pi x}a,$$

uno puede conseguir $$\dfrac 1\pi\dfrac{\cos(\lambda_0x)}{\sin(\lambda_0a)} = \dfrac1{un\lambda_0} + \dfrac{2\lambda_0a}{\pi^2} \sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{(-1)^m\cos\left(\dfrac{m\pi x}{a}\right)}{\dfrac{\lambda_0^2a^2}{\pi^2}-m^2}=S_2.$$