"Contraejemplo" del teorema de la función inversa

Question

En una conferencia, expusimos el teorema de la siguiente manera:

Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto y $f:\Omega\to\mathbb{R}^n$ a $\mathscr{C}^1(\Omega)$ función. Si $|J_f(a)|\ne0$ para algunos $a\in\Omega$ entonces existe $\delta>0$ tal que $g:=f\vert_{B(a,\delta)}$ es inyectiva y ...

Esto sólo es una condición suficiente, por lo que ¿existe alguna función cuyo jacobiano tenga determinante $0$ en cada punto, pero sigue siendo inyectiva? Si el determinante sólo se desvanece en un solo punto algo similar a $f(x)=x^3$ en $x=0$ en $\mathbb{R}$ sería suficiente, pero si $|f'(x)|=0$ por cada $x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}$ entonces $f$ es constante y no inyectiva. ¿Sucede lo mismo en $\mathbb{R}^n$ ?

Gracias

Answer 1

En realidad, esto no es posible en $\mathbb{R}^n$ o bien.

De hecho, si tiene alguna $\mathscr{C}^1$ función inyectiva $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ entonces $f$ es abierto y un homeomorfismo en su imagen (invarianza del dominio : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain ).

A partir del teorema de Sard ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem ), el conjunto de valores críticos tiene medida nula en $\mathbb{R}^n$ , por lo que tiene el interior vacío, por lo que el conjunto de puntos críticos tampoco tiene interior.