¿Por qué la serie de Taylor "funciona"?

Question

Soy un estudiante de Física que está terminando su primer año en breve. La siguiente pregunta se basa en los sistemas físicos que he encontrado hasta ahora. (Hemos hecho sobre todo mecánica newtoniana).

En todos nuestros análisis de los sistemas físicos (hasta ahora) hemos explotado imprudentemente las series de Taylor, reteniendo términos hasta la precisión deseada de nuestro modelo aproximado de la realidad.

Pero, ¿cuál es la justificación de utilizar la serie de Taylor? Implica que las funciones matemáticas de nuestro modelo físico son analítica . Pero, ¿cómo podemos estar seguros de ello?

Claro, la naturaleza no parece ser discontinuo o tienen "torceduras" (es decir, derivados inexistentes) en su comportamiento. Eso parece plausible. Pero aún así, hay suave no analítico funciones. Y hay "muchos" más de ellas que de funciones analíticas. Por lo tanto, aunque la naturaleza funcione sin problemas en sus esfuerzos, es esencialmente cero  probabilidad de que lo haga analíticamente.

Entonces, ¿por qué utilizamos la serie de Taylor?

Answer 1

Yo también tuve este mismo problema. El truco con esto es darse cuenta de que hay una diferencia importante entre Taylor serie y Taylor aproximaciones o polinomios cuyo comportamiento es descrito por la regla de Taylor teorema . Sí, muy a menudo sospecho que un error común es que primero se ven los polinomios y el teorema de Taylor, y luego se obtienen las series de Taylor y eso se convierte en el foco de atención y de repente se olvida el resto.

Pero aquí, lo que realmente estamos haciendo cuando "truncamos" una serie de Taylor es que estamos volviendo a un Taylor polinomio ya que eso es lo que es una serie de Taylor truncada - o alternativamente, una serie de Taylor es la extensión natural de hasta el orden infinito. En ese contexto, la serie de Taylor teorema te dice exactamente cómo se comporta o no como una aproximación y -sorpresa- no requiere nada de analiticidad en absoluto. Analiticidad sólo entra en juego cuando se considera el completo de hecho, lo que dice el teorema de Taylor es que un polinomio de Taylor finito seguirá funcionando como una aproximación para incluso un no -analítica, siempre y cuando te acerques convenientemente al punto en el que estás tomando el polinomio y la función sea lo suficientemente diferenciable como para poder tomar el polinomio del grado dado.

En concreto, el teorema de Taylor te dice que, analíticamente o no si se corta la serie de Taylor de manera que el término más alto tenga grado $N$ para formar el polinomio de Taylor (o serie de Taylor truncada) $T_N(a, x)$ , donde $a$ es el punto de expansión, se tiene

$$f(x) = T_N(a, x) + o(|x - a|^N),\ \ \ \ \ x \rightarrow a$$

donde la última parte define el comportamiento del término restante: se trata de la "notación little-o" y significa que el error palidece en comparación con el límite $|x - a|^N$ .

Como ejemplo en la física matemática elemental, considere el análisis del potencial "patológico" en la mecánica newtoniana dado por

$$U(x) := \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}},\ x \ne 0\\ 0,\ \mbox{otherwise} \end{cases}$$

que es suave en todas partes pero pas analítica cuando $x = 0$ . En particular, es tan malo que no sólo no es analítico, la serie de Taylor existe e incluso converge ... sólo a la ¡se equivoca! :

$$U(x)\ "="\ 0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \cdots,\ \ \ \ \mbox{near $ x = 0 $}$$

... y sí, eso es literalmente 0s en cada trimestre por lo que la expresión de la derecha es igual a $0$ ¡!

(ADD - ver comentarios: no... no QUE ¡0! ... uh ... Ooops ... uhhh ... )

Sin embargo, Si bien eso es técnicamente "incorrecto", los métodos de análisis habituales que tiene este sistema le seguirán diciendo lo "correcto", siempre y cuando esté cuidado En particular, observamos que $x = 0$ parece una especie de "equilibrio" ya que $U'$ es cero allí, pero también observamos que se nos dice -¡correctamente! - que no debemos aplicar la aproximación del oscilador armónico porque también tenemos que el coeficiente fuera delante de $x^2$ es 0 también.

Estamos justificados en ambas conclusiones porque aunque este Taylor serie es "malo", sigue siendo A-OK por Taylor's teorema para escribir la serie truncada, y así Taylor polinomio ,

$$U(x) \approx 0 + 0x + 0x^2,\ \ \ \ \mbox{near $ x = 0 $}$$

aunque sea "igual a $0$ ", porque este $U(x)$ es "tan exquisitamente aproximado por la función constante $U^{*}(x) := 0$ " que es $o(|x|^N)$ pour cada pedir $N > 0$ y por lo tanto, en particular, también $N = 2$ ¡! Por lo tanto, el análisis armónico y la conclusión de su fracaso son todavía 100% justificado.

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ADD (IE+1936.6817 Ms - 2018-05-16): Por un comentario añadido más abajo, hay una arruga adicional en esta historia que había estado pensando en mencionar pero no lo hice, sin embargo por lo cual, a la luz de eso, pensé que tal vez ahora debería.

En realidad hay dos tipos diferentes de formas en las que la serie de Taylor puede fallar cuando una función no es analítica en un punto y se toma en ese punto. Una de ellas es la forma que mostré anteriormente - donde la serie de Taylor converge, pero converge a lo "incorrecto" en el sentido de que no es igual a la función en cualquier intervalo no trivial alrededor de ese punto (usted puede poder hacer que lo iguale en algún conjunto raro de polvo/rotura, pero no en ningún intervalo), es decir, ningún intervalo $[a - \epsilon, a + \epsilon]$ con $\epsilon \ne 0$ . Este punto se denomina Punto Cauchy o Punto C .

La otra forma es que la serie de Taylor tenga realmente radio de convergencia 0, es decir, que no convergen en cualquier intervalo no trivial de la misma forma con $\epsilon \ne 0$ . Este tipo de punto se denomina Punto Pringsheim o Punto P . Este caso no fue demostrado, pero incluso en tal caso, la serie de Taylor sigue siendo un serie asintótica en el sentido de que al menos intentará iniciar para converger si estás lo suficientemente cerca y, además, cuanto más cerca estés del punto de expansión $a$ Cuanto más términos pueda tomar antes de que deje de converger y comience a divergir de nuevo. Dado que en física, normalmente estamos interesados - y especialmente para el oscilador armónico - en sólo unos pocos términos de bajo orden, el comportamiento final de la serie no es importante y todavía podemos tomarla para obtener, digamos, la aproximación armónica cerca de un punto de equilibrio, incluso si la función no es analítica allí - por ejemplo, considere el potencial $U_3(x) := U(x) + \frac{1}{2} kx^2$ con $k > 0$ donde utilizamos el primer potencial que acabamos de dar arriba. Esto no es analítico en $x = 0$ tampoco, pero sin embargo, la aproximación armónica no sólo funcionará, sino que lo hará exquisitamente bien, y con la frecuencia $\omega := \sqrt{\frac{k}{m}}$ como siempre.

Ver:

https://math.stackexchange.com/questions/620290/is-it-possible-for-a-function-to-be-smooth-everywhere-analytic-nowhere-yet-tay

Answer 2

El teorema de Stone-Weierstrass dice que cualquier función continua en un intervalo compacto está arbitrariamente bien aproximada por polinomios. Así, mientras sólo nos interese explicar los resultados experimentales (y no el exacto soluciones de modelos teóricos), las expansiones en serie son suficientemente buenas. Es decir, para cualquier cosa que queramos describir, existe un modelo (al menos en el sentido estadístico) que lo describe con suficiente precisión y que es analítico. Así que no parece evidente que podamos saber si el mundo es analítico o simplemente $C^\infty$ o incluso $C^0$ ¡!

Por supuesto, en la práctica, nuestras teorías hacen infinitas predicciones para los valores de dichas funciones, por ejemplo, la mecánica las predice como soluciones de ecuaciones diferenciales, la teoría de campos mediante algunas integrales. Normalmente no podemos evaluar nuestras predicciones teóricas con exactitud, por lo que utilizamos métodos numéricos o de series asintóticas. Las cosas que salen de nuestros modelos no suelen ser analíticas, así que creo que estamos un poco mimados en nuestra educación física con todos estos modelos analíticos y resolubles.

La cuestión de por qué tantas (¡pero no todas!) soluciones exactas de los modelos teóricos son reales o incluso analíticas complejas es una discusión totalmente diferente, y mucho más misteriosa, aunque la causalidad tiene algo que ver . Por ejemplo, las funciones de respuesta en el tiempo siempre tienen una extensión al tiempo complejo en el plano medio superior.

Pero más misteriosamente, hay cosas como la ecuación de KdV, la primera ecuación que describe los solitones, cuya integrabilidad resultó estar estrechamente relacionada con las curvas elípticas . Así que la integrabilidad parece no sólo relacionada con la analiticidad, ¡sino incluso con la algebraicidad! Pero es una conexión bastante oculta, porque las propias soluciones de KdV son trascendentales. De todos modos, recomiendo el libro que he enlazado. Está escrito para estudiantes universitarios y es muy divertido.

Answer 3

Si conocemos el valor de $f$ en $t$ y queremos saber el valor de $f(t+\Delta t)$ para los pequeños $\Delta t$ entonces lo más básico es asumir que $f(t+\Delta t) = f(t)$ . Esto se conoce como la "aproximación de orden cero". En el cálculo, aprendiste sobre las rectas tangentes. Con una recta tangente, en lugar de aproximar la función con un valor fijo, la aproximas con una recta, y la pendiente de la recta es la derivada: $f(t+\Delta t) = f(t)+(\Delta t) f'(t)$ . Esta es la "aproximación de primer orden". Así que esto es tratar la derivada como una constante, es decir, una aproximación de primer orden de la función se da en términos de una aproximación de orden zeroth de la derivada.

En su lugar, podríamos calcular una aproximación de primer orden de la derivada y utilizarla para aproximar la función. Esto sería entonces una aproximación de segundo orden de la función. Tenemos $f'(t+\Delta t) = f'(t) +(\Delta t)f''(t)$ e integrando que obtenemos $f(t+\Delta t) = f(t)+(\Delta t)f'(t)+\frac {(\Delta t)^2}{2}f''(t)$ . Podemos continuar este proceso, y la aproximación de orden n será entonces simplemente los primeros n términos (con indexación cero) de la serie de Taylor. Esto no es asumir que la función es analítica; es simplemente aplicar una estrategia intuitiva para aproximar la función.

Entonces, ¿es válido? Pues bien, si tenemos un límite en la derivada enésima de $f$ sobre el intervalo, entonces podemos usarla para poner un límite a la (n-1)ª derivada, que puede dar un límite a la (n-2)ª, y así. Así que incluso sin conocer la $f$ es analítica, tener un límite en la enésima derivada da un límite en el error para la aproximación de enésimo orden.

Answer 4

Por lo tanto, aunque la naturaleza funcione sin problemas en sus esfuerzos, es esencialmente cero la probabilidad de que lo haga analíticamente

¿De dónde viene esta implicación? La mayoría de las ecuaciones que utilizamos en física se resuelven con funciones que sí son analíticas: esto se debe a que la mayoría de las ecuaciones son diferenciales hasta cierto orden y puedes utilizar las condiciones de Cauchy para demostrarlo. En esos casos, el uso de expansiones en series de potencias está justificado y se comete un error en las predicciones proporcional a cualquier orden en el que se decida parar.

En algunos otros casos las funciones no son analíticas y, de hecho, no se aplican tales expansiones a ciegas: hay toda un área de la electrodinámica clásica que se ocupa de las singularidades en las funciones de Green y el teorema del residuo (sólo por mencionar una) o la investigación de los polos de los Lagrangianos en la QFT (por mencionar otra).

Answer 5

Algo adicional que debes tener en cuenta:

Para hablar de analidad, hay que hablar de derivadas, y para hablar de derivadas, se necesitan límites. De hecho, incluso para hablar de continuidad, se necesitan límites. Y para hablar de límites, hay que tener las cosas definidas con una precisión infinita.

Pero todos los conceptos por los que se definen los valores físicos se rompen cuando se lleva la precisión demasiado lejos. Si se quiere hablar de la velocidad de un objeto, hay que poder definir su posición. Pero eso requiere una definición exacta de lo que es el objeto. Los objetos físicos reales arrojan átomos al entorno y ganan otros átomos de éste. En un momento dado, ¿cómo se decide exactamente qué átomos forman parte del objeto y cuáles no? La mayor parte del objeto es un espacio abierto entre esos átomos. ¿Cómo definir exactamente dónde está el límite entre el espacio abierto que contribuye al volumen de tu objeto y el espacio abierto que está fuera?

Más allá de eso, se cree que existe un límite inferior fundamental para el tamaño medible: la longitud de Planck. No se puede medir nada más pequeño (y actualmente tampoco se puede medir nada mucho más grande). Pero los límites no pueden definirse con tal restricción. La definición de un límite no admite ninguna cota inferior sobre lo que se puede acercar al objetivo. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de límites con medidas físicas. Y si no se puede hablar de límites, no se puede hablar de continuidad o de derivadas o de analiticidad o de series de Taylor.

Si se tomaran las mediciones más exhaustivas de un objeto en movimiento que sean teóricamente posibles, no se obtendría una función matemática bien definida. En su lugar, se obtendrían datos con rangos de error en los que cabría un número infinito de funciones. Entre esas funciones habrá algunas que se comporten bastante mal, que no sean continuas en ningún punto. Pero también entre esas funciones habrá algunas que sean analíticas.

Cualquiera de estas funciones proporcionaría una descripción igualmente precisa del movimiento de su objeto. Las funciones discontinuas son difíciles de trabajar, pero las funciones analíticas tienen un comportamiento excelente. Tú eliges. ¿Qué prefieres utilizar?