Se puede añadir un incontable número de elementos positivos, y esta suma puede ser finito?
Siempre tengo problemas para la comprensión de las operaciones matemáticas cuando se trata de un incontable número de elementos. Cualquier ayuda sería genial.
Respuestas
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Supongamos $\{s_i : i\in\mathcal I\}$ es una familia de números positivos.$^\dagger$ Podemos definir $$ \sum_{i\in\mathcal I} s_i = \sup\left\{ \sum_{i\in\mathcal I_0} s_i : \mathcal I_0 \subseteq \mathcal I\ \&\ \mathcal I_0 \text{ es finito.} \right\} $$ (Si ambos números positivos y negativos están involucrados, entonces tenemos que hablar de un límite , en lugar de sobre un supremum, y, a continuación, la definición es más complicado y tenemos dudas de convergencia condicional y reordenamientos.)
Ahora considere la posibilidad de \begin{align} & \{i\in\mathcal I : s_i \ge 1\} \\[4pt] & \{i\in\mathcal I : 1/2 \le s_i < 1 \} \\[4pt] & \{i\in\mathcal I : 1/3 \le s_i < 1/2 \} \\[4pt] & \{i\in\mathcal I : 1/4 \le s_i < 1/3 \} \\[4pt] & \quad \quad \quad \vdots \end{align} Si uno de estos conjuntos es infinito,$\sum_{i\in\mathcal I} s_i=\infty$. Pero si todos son finitos, entonces $\mathcal I$ es en la mayoría de los countably infinito.
Por lo tanto la suma de una cantidad no numerable de números positivos es infinito.
No sé si por algunos argumentos acerca de reordenamientos uno de alguna manera podría tener una razonable definición de una suma de números que no todos tienen el mismo signo que nos podría dar una de alguna manera bien definida de la suma de una cantidad no numerable de números y obtener un número finito.
$^\dagger$ En la primera edición de esta respuesta, me dijo "Vamos a $S$ ser un conjunto de números positivos y, a continuación, llegó a decir $$ \la suma S = \left\{ \sum S_0 : S_0\subseteq S\ \&\ S_0\text{ es finito.} \right\} $$ Sin embargo, Dustan Levenstein señaló en los comentarios de que "esta definición no permitir que para el mismo número a ocurrir dos veces en una suma". En lugar de "dos veces", yo diría que "más de una vez", ya que un número incluso podría producirse una uncountably número infinito de veces.
Cristhian Gz
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Tenemos la siguiente proposición
Proposición 1. Deje $X$ ser en la mayoría de los contables conjunto, y deje $f\colon X\to\mathbf R$ ser una función. A continuación, la serie de $\sum_{x\in X} f(x)$ es absolutamente convergente si y sólo si $$\sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X, A\text{ finite}\right\}<\infty.$$
Inspirado por esta proposición, podemos ahora definir el concepto de un absolutamente convergente la serie, incluso cuando el conjunto $X$ podrían ser innumerables.
Definición 2. Deje $X$ ser un conjunto (que podría ser incontable), y deje $f\colon X\to\mathbf R$ ser una función. Decimos que la serie $\sum_{x\in X} f(x)$ es absolutamente convergente si y sólo si $$\sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X, A\text{ finite}\right\}<\infty.$$
Tenga en cuenta que todavía no hemos dicho lo que la serie de $\sum_{x\in X} f(x)$ es igual. Esto deberá llevarse a cabo de la siguiente proposición.
Proposición 3. Deje $X$ ser un conjunto (que podría ser incontable), y deje $f\colon X\to\mathbf R$ ser una función tal que la serie $\sum_{x\in X} f(x)$ es absolutamente convergente. Entonces el conjunto $\{x\in X:f(x)\ne0\}$ es en la mayoría de los contables.
Debido a esto, podemos definir el valor de $\sum_{x\in X} f(x)$ para cualquier absolutamente convergente la serie en una multitud innumerable $X$ por la fórmula $$\sum_{x\in X} f(x):=\sum_{x\in X:f(x)\ne0} f(x),$$ since we have replaced a sum on an uncountable set $X$ by a sum on the countable set $\{x\in X:f(x)\ne0\}$. (Tenga en cuenta que si el ex suma es absolutamente convergente, entonces el último también.) Tenga en cuenta también que esta definición es consistente con las definiciones de la serie contable de conjuntos.
Observación. La definición de la serie contable establece que se utiliza es
Definición 4. Deje $X$ ser una contables conjunto, y deje $f\colon X\to\mathbf R$ ser una función. Decimos que la serie $\sum_{x\in X}f(x)$ es absolutamente convergente iff para algunos bijection $g\colon\mathbf N\to X$, la suma de $\sum_{n=0}^\infty f(g(n))$ es absolutamente convergente. A continuación definimos la suma de $\sum_{x\in X}f(x)$ por la fórmula $$\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{n=0}^\infty f(g(n)).$$
Hurkyl
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Deje $H$ ser positivo ilimitado entero de análisis no estándar. Entonces, por ejemplo, la suma
$$ \sum_{n=1}^H n = \frac{H(H+1)}{2}$$
es una suma de una cantidad no numerable de números positivos... pero es un hyperfinite no estándar de la suma, por lo que existe por los métodos habituales de análisis no estándar. La suma es ilimitado, sin embargo. Otras sumas pueden ser finito: por ejemplo,
$$ \sum_{n=1}^H \frac{1}{n!}$$
es un finito no estándar número real que es infinitesimalmente cerca de $e$.
Dicho esto, la OMI, el pensamiento de hyperfinite sumas de análisis no estándar como suma de una cantidad no numerable de elementos no es particularmente fructífera línea de pensamiento. (también, la suma sólo funciona para los internos de las secuencias de elementos de todos modos, usted no puede tomar una arbitraria innumerable colección)
Menciono esto principalmente para mostrar que incontables sumas pueden tener sentido en algunos contextos, incluso si usted realmente no puede hacer mucho en una configuración estándar. Cada sumatoria operador puede definir así puede tener su propio tipo de peculiaridades.
