Radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n}$

Question

Necesito encontrar el radio de convergencia y el comportamiento en los puntos finales de $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n}. $$ Me gustaría que comprobaras si mis resultados son correctos, y si no es así, dónde me he equivocado. Gracias.

Utilizando la prueba de la raíz, obtengo $$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{x^n}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n}\right|^{\frac{1}{n}}\;\text{ if and only if }\; |x|< \frac{\pi}{2}, $$ utilizando el hecho de que $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0$ y $|\cos^{-1}(0)|=\frac{\pi}{2}$

Ahora, en los extremos, tenemos $x=\frac{\pi}{2}$ y $x=\frac{-\pi}{2}$ que, utilizando de nuevo la prueba de la raíz, parece dar como resultado $1$ y $-1$ . Así que sumamos infinitas $1$ resp. $-1$ por lo que diverge en ambos extremos.

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¿Son correctos mis resultados? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Edición: para responder lo más ampliamente posible a la pregunta, tras los comentarios del OP, he reelaborado y ampliado mi respuesta anterior .

La primera de tus conclusiones es correcta, mientras que estás interpretando mal la segunda: cuando $x=\pm\frac{\pi}{2}$ estás en el límite del círculo de convergencia, por lo tanto la serie de potencias puede o no converger en esos puntos La prueba de la raíz funciona cuando $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_nx^n}=\lim_{n \to \infty}\left|\frac{1}{2^n}\frac{\pi^n}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n}\right|^{\frac{1}{n}}=1 $$
El teorema de Cauchy-Hadamard dice simplemente que la prueba de raíz aplicada a los coeficientes $\langle a_n \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ (en general $a_n \in \mathbb{C}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ ) de una serie de potencias dada $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ determina los valores $R$ de la radio de convergencia $$ R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}} $$ para lo cual $|x|<R$ implica la convergencia de su serie de potencias, pero no puede decir nada cuando $|x|=R$ por lo que ha determinado correctamente el radio de convergencia $R=\frac{\pi}{2}$ de su serie de potencias, pero esto no da ningún conocimiento sobre su trayectoria los extremos de su intervalo (disco) de convergencia.

Cómo encontrar el comportamiento de $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ para $x=R$ ?

Asumiendo sin pérdida de generalidad $R=1$ (siempre se puede utilizar la transformación $x\mapsto Rx$ y considerar una nueva serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \hat{a}_n x^n$ con $\hat{a}_n=a_nR^n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ ), aparte del criterio de convergencia estándar de Cauchy que Dèö cita en los comentarios a su respuesta, la única condición necesaria y suficiente para la convergencia de las series de potencias en los puntos límite $|x|=1$ que conozco es el segundo teorema de Tauber. En la situación actual, afirma que la serie de potencias es sumable y el valor de su suma es $s_\pm$ ( $s_+$ para $x=1$ y $s_-$ para $x=-1$ (nótese que el enunciado original de Tauber considera cada punto límite de forma singular) si y sólo si

1. $\lim_{z\to \pm 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=s_\pm$ y
2. $a_1+2a_2+\cdots+na_n=o(n)\quad \forall n\in\mathbb{N}_+$ .

Sin embargo, al igual que el criterio de Cauchy, no es fácilmente aplicable a los problemas reales: el cumplimiento de la condición 1 supone exigir la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ para ser Abel sumable mientras que el cumplimiento de la condición 2 significa que el La media de Cesaro de sus sumas parciales desaparece como $n\to \infty$ . Definitivamente no son las propiedades más fáciles de comprobar, aunque en algunos casos pueden ser bastante eficaces.

Answer 2

Se puede encontrar directamente el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ por $\textit{Hadamard's formula}$ dado por $$\frac{1}{R}=\limsup_{n\rightarrow \infty } \sqrt[n]{a_n}.$$ En la serie dada, $a_n=\frac{1}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n} \implies \frac{1}{R}=\limsup_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))}$ ya que en el intervalo $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ que contiene $0$ la función $\cos^{-1}$ es continua y $\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=0$ Por lo tanto $R=\frac{\pi}{2}$ . En el punto final decir $x=\frac{\pi}{2}$ la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{\pi}{2})^n}{(\cos^{-1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}))^n} $ diverge a medida que el $n^{th}$ términos va a $1$ como $n \rightarrow \infty$ de forma similar para $x=-\frac{\pi}{2}$ .

El cálculo anterior es válido si se pide que la convergencia sea en $\mathbb{R}$ . Si se pide la convergencia en $\mathbb{C}$ el disco de convergencia sería $|z|<\frac{\pi}{2}$ y tenemos que buscar todos los puntos en $|z|=R$ si converge o no.