Suma de todas las combinaciones posibles

Question

Chicos, acabo de descubrir algo increíble. ¿Puede alguien confirmarlo? La suma de todas las formas posibles de formar un número con $n$ con sus dígitos, sin repetición, es igual a $11\ldots1\cdot m(n-1)!$ , donde $m$ es la suma de los dígitos del número, y la cantidad de $1$ es igual a $n$ . Por ejemplo, $123$ se puede organizar $132, 231, 213, 312, 321$ . La suma de estos números es igual a $1332$ . $(111)(6)(2)$ . Estaré esperando mi medalla Fields.

Answer 1

Tomemos su ejemplo de 123 .

$123$
$132$
$213$
$231$
$312$
$321$

Veamos el primer dígito (el lugar de la centena). Como el número de dígitos es $3$ Habrá $3 - 1 = 2$ dígitos después del primer dígito. Así, habrá un total de $(3 - 1)! = 2! = 1$ números con cada dígito como el primero.

Así, la suma de los dígitos que aparecen en el lugar de las centenas (nota: todos los dígitos aparecen como el primer dígito) es igual a la suma de los dígitos, y cada dígito aparece $(N - 1)!$ tiempos.

Así, la suma de todos los primeros dígitos es $(digitsum)(N - 1)!$ .

De ello se deduce que esto se aplica a todos los dígitos.

Así, la suma de todos los números es $(1\times{digitsum}) + (10\times{digitsum}) + (100\times{digitsum}) + ... + (10^N\times{digitsum})(N - 1)! = 11...11\times{digitsum})(N - 1)!$

QED

Answer 2

Cada dígito tiene una "oportunidad" de "ocupar" cada columna.

Por lo tanto, la suma es ese dígito multiplicado por $\underbrace{111\cdots 1}_n$ .

Cada columna estará ocupada por cada dígito, lo que sumado da $m$ para esa columna.

...Multiplicar por $m$ para dar $\underbrace{111\cdots 1}_n\cdot m$

Cuando una columna determinada ocupa una posición determinada, otros dígitos se permutan entre sí en $(n-1)!$ formas, por lo que el número de veces que ocupa esa columna es $(n-1)!$ .

...Multiplicar por $(n-1)!$ para dar $\color{red}{\underbrace{111\cdots 1}_n\cdot m (n-1)!}$

Answer 3

Es interesante, aunque no especialmente profundo. Basta con considerar la expresión para cada lugar del número (llámese $x$ ). Así que primero consideramos el lugar de los unos. Si $x$ tiene representación decimal $x_1x_2\ldots x_n$ , entonces cada $x_i$ aparece en el lugar de los unos en $(n-1)!$ maneras, ya que si arreglo $x_i$ en el lugar de los unos, hay $(n-1)!$ formas de organizar la otra $n-1$ dígitos. Esto da $x_1(n-1)!+x_2(n-1)!+\cdots+x_n(n-1)!=(x_1+x_2+\cdots+x_n)(n-1)!$ . Llamaré $m$ la suma de los dígitos. A continuación, lo multiplico por $1$ porque ocupa el lugar de los unos. Puedo hacer lo mismo con el dígito de las decenas, que da el mismo valor, pero lo multiplico por $10$ . Esto continúa para cada dígito hasta que tenga $m(n-1)!+10m(n-1)!+\cdots+10^{n-1}m(n-1)!$ que es exactamente lo que tienes.