Demuestre que un subespacio de todas las funciones desde un conjunto$S$ a un campo$F$ tiene una base$f_1,...,f_n$ que es dual con algunos elementos$x_1,...,x_n$.

Question

Deje $S$ ser un conjunto, $F$ un campo, y $V(S;F)$ el espacio de todas las funciones de $S$ a $F$, con la habitual función de la suma y la multiplicación escalar. Deje $W$ cualquier $n$-dimensiones subespacio de $V(S;F)$. Demuestran que existen puntos de $x_1,...,x_n$ $S$ y las funciones de $f_1,...,f_n$ $W$ tal que $f_i(x_j)=\delta_{ij}$ donde $\delta_{ij} = 1$ si $i=j$, e $\delta_{ij} = 0$ lo contrario (es decir, la función delta es la función delta de Kronecker).

Si $S$ se $n$-dimensional en el subespacio, entonces el resultado es true. Pero no estoy seguro de cómo proceder. Yo estaba considerando el conjunto de $(S^0)^0$, el cual es atravesado por $S$, pero estoy seguro de a dónde lleva esto a mí.

Edit: he encontrado que, desde $(S^0)^0$ es un subespacio, podemos encontrar algunos de $n$ puntos de una base $a_1,...,a_n$ de que el subespacio tal que su doble es $f_1,...,f_n$, y cada una de las $a$ de la cual es una combinación lineal de algunos elementos en $S$. Si los $a_i$ elementos en $S$, hemos terminado. Pero estoy teniendo problemas para demostrar el resultado si al menos uno de los $a_i$ no $S$.

Answer 1

Vamos a mostrar el resultado se mantiene para $n=1$.

Si $f\in W$, $f\ne0$, a continuación,$f(x_1)\ne0$, para algunas de las $x_1\in S$. A continuación, la función $$f_1=(f(x_1))^{-1}f$$ satisface el requisito.

Supongamos que la declaración tiene por $(n-1)$-dimensiones de los subespacios de $V(S;F)$ y elija una $(n-1)$-dimensiones subespacio $W'$$W$.

Por hipótesis inductiva, somos capaces de encontrar a $x_1,\dots,x_{n-1}\in S$$f_1,\dots,f_{n-1}\in W'$$f_i(x_j)=\delta_{ij}$.

El conjunto $\{f_1,\dots,f_{n-1}\}$ es linealmente independiente (fácil de comprobar). Considerar el mapa $\varphi\colon W\to F^{n-1}$, $\varphi(f)=(f(x_1),\dots,f(x_{n-1}))$. Este mapa es surjective (demostrarlo), por lo que su núcleo tiene dimensión $1$.

Se puede terminar?