¿Cómo probar que$x^2-34y^2=17$ no tiene soluciones enteras?

Question

Mi pregunta es ¿cómo se puede mostrar que la ecuación$x^2-34y^2=17$ no tiene soluciones donde$x$ y$y$ son ambos enteros?

Utilicé este sitio web para comprobar si había soluciones: http://www.numbertheory.org/php/patz.html .

Hay un documento vinculado que detalla los métodos, pero está muy por encima de mi cabeza. ¡Supongo que estoy preguntando cómo podría mostrarse más simplemente! Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Debemos tener$17\mid x$, por lo tanto, la ecuación se reduce a: $$17 x^2 = 1 + 2y^2 = (1+y\sqrt{-2})(1-y\sqrt{-2}).\tag{1}$ $ Ya que$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es un dominio euclidiano y$17=3^2+2\cdot 2^2$, solo tenemos que demostrar que no hay cuadrados en$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ puede tener la forma:$$ (1+y\sqrt{-2})(3+2\sqrt{-2})=(3-4y)+(2+3y)\sqrt{-2}, que es lo mismo que decir que $$a^2-2b^2 = 3-4y,\qquad 2ab = 2+3y\tag{2}$ $ es imposible. $(2)$ implica:$$ 3a^2 + 8ab - 6b^2 = 17, pero$a$ y$b$ no pueden ser iguales, así que$3a^2+8ab-6b^2\in\{2,3,5,6\}\pmod{8}$, mientras que$17\equiv 1\pmod{8}$, por lo tanto,$(2)$ , luego$(1)$, no tienen soluciones enteras.

Answer 2

Tenga en cuenta que $35^2-34\cdot 6^2=1$. Por lo tanto, la curva real$x^2-34 y^2=17$ (una hipérbola) es invariante en la transformación lineal $$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}35&-204\\-6&35\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}.$$ This is a hyperbolic rotation. A (closed) fundamental domain of the transformation group generated by this rotation is given by $| y | \ leq \ sqrt {17/2} <3$. The rotation has integral coefficients. Therefore if $x ^ 2-34 y ^ 2 = 17$ has a solution over the integers then it has one with $| y | \ leq 2$. Un cálculo directo muestra que no tiene tales soluciones.