$PFA \implies SOCA$ . (O usar el forzamiento para demostrar teoremas no relacionados con la consistencia).

Question

Estoy tratando de entender la prueba en el libro de Kunen (Teoría de Conjuntos) de $PFA \implies SOCA.$ (Axioma de forzamiento adecuado, Axioma de coloración semiabierta.) No creo que sea necesario conocer todos los detalles de la prueba para responder a mis preguntas. Por lo tanto, es posible que desee omitir estas definiciones y la prueba.

Dado $W\subseteq E\times E$ simétrico (con respecto a la diagonal) un subconjunto de $T$ de $E$ se llama $W$ -conectado si $T\times T \setminus \Delta T$ está contenida en $W$ y $W$ -libre si $T\times T \setminus \Delta T$ es disjunta de $W$ . (Donde $\Delta T$ es $T$ de la diagonal).

$SOCA$ es la declaración: Siempre que $E$ es un espacio métrico separable incontable y $W$ es un susbeto abierto de $E\times E \setminus \Delta E$ con $W$ simétrica, hay una sub-sección incontable $T$ de $E$ de manera que $T$ es $W$ -conectado o $T$ es $W$ -gratis.

$\textbf{My first question:}$ Kunen utiliza el enfoque del Modelo Transitivo Contable para forzar. Yo le doy sentido a esta prueba de esta manera: Asumimos $PFA$ . Arreglamos $M$ un modelo transitivo contable para ZFC y fijar un espacio métrico separable incontable $E$ en ella, y demostramos que $SOCA$ lo mantiene. Esto demuestra $PFA$ implica $SOCA$ ya que si es verdadera para un espacio métrico arbitrario de un modelo contable arbitrario, entonces es verdadera para todo modelo de ZFC y, por tanto, una consecuencia de ZFC. Como si obtuviéramos un modelo de ZFC donde $SOCA$ falla podríamos obtener un modelo transitivo contable en el que falla. ¿Es correcto este razonamiento?

$\textbf{My second question:}$ Como quiero $SOCA$ para que sea cierto en mi transitivo contable fijo $M$ Necesito el conjunto (tercer párrafo) $\{e_\eta:\eta\in I\}$ para ser un elemento de $M$ pero para conseguirlo probablemente necesite $I$ para ser un elemento de $M$ también. Pero como $I$ utiliza $G$ en su definición parece probable que no sea realmente un elemento de $M$ . ¿Cómo puedo solucionar este problema? ¿Cómo puedo comprobar que $\{e_\eta:\eta\in I\}\in M$ ? ¿O no es esto lo que quiero?

Agradezco mucho cualquier tipo de ayuda. Gracias por leer.

Answer 1

Su primera pregunta es muy natural, y una pregunta muy típica cuando se trata de entender por primera vez los axiomas de forzamiento, o en general el forzamiento tal y como se utiliza realmente "en la naturaleza".

En general, nos importa muy poco la metamecánica del forzamiento. Si abres Jech, que se acerca al forzamiento a través de modelos booleanos-valorados, o Halbeisen que utiliza fragmentos finitos de $\sf ZFC$ , todos ellos, al final, utilizan el mismo enfoque a la hora de demostrar algo con el forzamiento. Trabajas dentro de tu modelo, así que en general, siempre fuerzas sobre el universo.

Por lo tanto, en este caso, si se quiere recurrir a la metamecánica completa del forzamiento, se empezaría con un modelo contable de $\sf ZFC+PFA$ y demostrar que el modelo también satisface $\sf SOCA$ . Pero en realidad, no se hace eso. De hecho, cuando se trata de axiomas de forzamiento, en realidad no vas más allá para producir esas extensiones genéricas. En lugar de ello, argumentas que el forzamiento que te interesa es ccc/proper/semi-proper/SSP/etc. y, por tanto, puedes aplicar el axioma de forzamiento en una "pequeña familia de conjuntos abiertos densos".

Por último, para la segunda pregunta, le interesa $W$ que está en el modelo de tierra, en el universo. Así que si usted tiene una condición que obliga a $(e_\xi,e_\eta)\in W$ entonces tiene que ser el caso de que esto es cierto, porque esto es un $\Delta_0$ -declaración sobre el modelo de tierra que implica sólo los nombres canónicos.

Lo que ocurrió fue que organizamos una secuencia $D_\alpha$ de conjuntos abiertos densos para $\alpha<\omega_1$ . Entonces utilizamos $\sf PFA$ para encontrar $G$ dentro de nuestro universo que cumple con esos conjuntos abiertos. Este $G$ no es totalmente genérico, pero es lo suficientemente genérico como para interpretar suficiente información que nos permita encontrar un conjunto incontable $T$ que actúa como sustituto de $\mathring T$ en una extensión genérica real. Pero como $G$ era suficientemente genérico, $T\subseteq W$ es $W$ -conectado.