Teorema de convergencia monótona para secuencias decrecientes no negativas de funciones medibles

Question

Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ sea un espacio de medidas y supongamos $\{f_n\}$ son funciones medibles no negativas decrecientes puntualmente a $f$ . Supongamos también que $\int f_1 \lt \infty$ . Entonces $$\int_X f~d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X f_n~d\mu.$$

Intento:

Desde $\{f_n\}$ son decrecientes, y converge puntualmente a $f$ entonces $\{-f_n\}$ es creciente puntualmente con $f$ . Así que por el teorema de convergencia monótona $$ \int_X -f~d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X -f_n ~d\mu$$ y así $$\int_X f~d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X f_n~d\mu.$$

Answer 1

El problema es que $-f_n$ aumenta a $-f$ que no es no negativo, por lo que no podemos aplicarlo directamente a $-f_n$ el teorema de convergencia monótona. Pero si tomamos $g_n:=f_1-f_n$ entonces $\{g_n\}$ es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas, que converge puntualmente a $f_1-f$ . Se obtiene el teorema de convergencia monótona: $$\lim_{n\to +\infty}\int_X (f_1-f_n)d\mu=\int_X\lim_{n\to +\infty} (f_1-f_n)d\mu=\int_X f_1d\mu-\int_X fd\mu$$ así que $\lim_{n\to +\infty}\int_X f_nd\mu=\int_X fd\mu$ .

Nótese que el hecho de que exista una función integrable en la sucesión es primordial, de hecho, si se toma $X$ la línea real, $\mathcal M$ su Borel $\sigma$ -y $\mu$ la medida de Lebesgue, y $f_n(x)=\begin{cases} 1&\mbox{ if }x\geq n\\\ 0&\mbox{ otherwise} \end{cases}$ la secuencia $f_n $ disminuye a $0$ pero $\int_{\mathbb R}f_nd\lambda =+\infty$ para todos $n$ .