¿Tiene todo campo una extensión de Galois no trivial?

Question

Claramente un campo $F$ sin extensiones de Galois debe tener sólo elementos no separables en cualquier extensión (de lo contrario, tome el polinomio mínimo de algún elemento separable sobre $F$ - su campo de división será una extensión de Galois de $F$ ). Este argumento reduce los ejemplos posibles a campos no perfectos, o lo que es lo mismo, campos infinitos de característica positiva. Sin embargo, no se me ocurre ningún ejemplo de un campo sin elementos separables.

¿Existen ejemplos de este tipo?

EDIT: Debería haber sido más claro - Estoy buscando un campo que tiene extensiones algebraicas no triviales, pero no tiene extensiones Galois no triviales.

Answer 1

Sea $F$ sea un campo cualquiera. El compositum de extensiones separables de $F$ contenida en el cierre algebraico $\overline{F}$ de $F$ será a su vez separable, por lo que existe una extensión separable mayor de $F$ contenida en $\overline{F}$ (es decir, el compositum de todas las extensiones separables). Se denomina cierre separable de $F$ en $\overline{F}$ . (Véase, por ejemplo, Lang's Álgebra , 3ª edición revisada, teorema 4.5 y discusión posterior, pp. 241s).

Comience ahora con un campo no perfecto; por ejemplo, tome $\mathbb{F}_p(x)$ el campo de las funciones racionales con coeficientes en el campo de $p$ elementos. Sea $K$ sea el cierre separable de $F$ como arriba; porque $F$ no es perfecto, $K$ no puede igualar $\overline{F}$ . En particular, $K$ no es algebraicamente cerrado.

Sin embargo, toda extensión algebraica no trivial de $K$ no es separable (de hecho, será puramente inseparables ): porque si $L$ es una extensión algebraica separable de $K$ alors $L$ es también una extensión algebraica separable de $F$ por lo que debe estar contenido en $K$ Así que $L=K$ .

Por lo tanto, ninguna extensión algebraica no trivial de $K$ es separable, por lo que ninguna extensión algebraica no trivial de $K$ es Galois sobre $K$ ; y sin embargo hay son extensiones algebraicas no triviales de $K$ ya que $K$ no es algebraicamente cerrado.