Del operador - orden de operaciones

Question

La lectura a través de un viejo artículo científico, me he encontrado con algunos potencialmente ambiguos utilizando la notación del operador. En este ejemplo, $f$, $g$, y $x$ son escalares, y $\textbf{V}$ es un vector. La ecuación es:

$$x = \nabla \cdot f \textbf{V} g.$$

Debería ser interpretado a indicar:

$$x = \nabla \cdot \left(f g\textbf{V} \right),$$

o posiblemente indican:

$$x =g \nabla \cdot \left(f \textbf{V}\right)?$$

Es la respuesta indicada por estricto orden de operaciones argumento, o es la primera forma de algún tipo de la conocida notación abreviada? No estoy seguro de por qué los dos escalares sería separado si ambos estaban destinados a ser parte del producto escalar.

Answer 1

Ver la discusión sobre la Del operador en la Wikipedia: ayuda a eliminar la ambigüedad de la notación que implican la $\nabla$ operador. Véase en particular la sección titulada "Precauciones". Entonces es posible que desee para desplazarse a la parte superior de la página para leer la entrada completa.

Véanse también las Reglas de Productos cuando se utiliza el $\nabla$ operador.

El uso de $\nabla$ y cómo funciona, depende en cierta medida del contexto en el que se utiliza. Los "tres posibles significados de gradiente, divergencia y curl-puede ser formalmente visto como el producto de escalares, producto escalar y producto vectorial, respectivamente, de la del "operador" con el campo. Estos formal productos no necesariamente conmuta con otros operadores o de los productos."

Answer 2

Son estas cosas de los campos en el colector? I por lo tanto, el papel puede ser la siguiente convención común en la geometría diferencial que "vector de campo" en un colector significa un operador lineal que lleva campos escalares para campos escalares y satisface ciertas condiciones. Moralmente usted puede pensar en él como

$$ \mathbf V g \equiv \mathbf V \cdot (\nabla g) $$

lo que significa que $\mathbf V g$ es un campo escalar y $f \mathbf V g = f(\mathbf Vg) = (f\mathbf V)g$ diferente es un campo escalar (hecho por pointwise multiplicación de $f$$\mathbf V g$.

Por otro lado, si ese es el sentido, entonces, el punto después de la explícita $\nabla$ en tu expresión es un poco misterioso, y el resultado de la expresión debe ser una (co)vector en lugar de un escalar. Así que tendrás que decidir por ti mismo desde el contexto si esta propuesta tiene sentido en absoluto.