Identidades / fórmulas / resultados interesantes que involucran números de Fibonacci.

Question

Recientemente presenté el tema de los números de Fibonacci en mi clase. Fue de gran éxito y me ha motivado para llevar a cabo la parte $2$ de la presentación. Pero lamentablemente no tenemos suficientes datos para continuar. Voy a estar agradecido si ustedes pueden presentar aquí algunos interesantes o los llamados de la mente que sopla identidades incluidos los números de Fibonacci.

He utilizado los siguientes identidades en la presentación anterior:

$1.$ Como se observa en la Johannas Kepler, $\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi$$n\to\infty$.

$2.$ Binet la fórmula: $F_n=\frac{\phi^n-(\phi^{-n})}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^n-(\phi^{-n})}{2\phi-1}$.

$3.$ $\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$

$4.$ Número de cadenas binarias de longitud $n$ sin consecutivas $1's$ es el número de Fibonacci $F_{n+2}$. Por ejemplo, si $n=2${longitud de la cuerda} entonces existe un total $2^2=4$ cadenas de $00,01,10,11$. Tenga en cuenta que$\underbrace{00,01,10}_{3 \text{times 1 is not being repeated}}$$3=F_4$.

$5.$ Número de ordenadas formas de escribir un número $n$ en términos de suma de $1's$$2's$$F_{n+1}$. Por ejemplo, $2=2=1+1\to $ dos formas de $=F_3$ maneras.

$6.$ Triángulo de Pascal y los números de Fibonacci:

Esta imagen es bastante auto explainatory, los números de Fibonacci se suma la poca diagonales del triángulo de Pascal. Nos representan matemáticamente como $F_n={\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}}$ ${n-k+1}\choose{k}$ donde $[ \ ]$ es la función del suelo.

Nota: Cualquier resultado que usted está proporcionando, por favor, enlace a la fuente y tratar de dar la prueba, si es que puede ser entendido por el público general (no requiere de mucho conocimiento).

Casi todo el contenido que me han dado está disponible en Wikipedia.

Gracias.

Actualización: Gracias a @Claude, esto le da un montón de casos donde los números de Fibonacci se ve.

Actualización: Como las respuestas no son de la forma que yo esperaba(aunque la respuesta por Frpzzd tiene un buen contenido), así que permítanme mostrarles una obra maestra. Esto es algo que podemos llamar interesantes

Answer 1

Aquí están algunas ideas.

1.Hablamos de la relación entre los números de Fibonacci y los números de Lucas. Los números de Lucas se definen recursivamente de la misma manera como los números de Fibonacci, pero comienza con $2$ $1$ en lugar de $1$$1$. Existen algunas relaciones interesantes entre las dos secuencias, tales como $$F_{2n}=L_nF_n$$

2. Los números de Fibonacci tienen algunas propiedades interesantes relacionados con la divisibilidad, tales como:

   • para cada entero positivo, $k$, el número Fibonacci $F_n$ uniformemente divide el número Fibonacci $F_{kn}$.
   • $GCD(F_n,F_m)=F_{GCD(n,m)}$.
   • La función de $M(x)=F_x \bmod m$ es periódica para cualquier $m$.

3. Hable acerca de la extensión de $F_n$ negativos $n$. Estas están dadas por la fórmula $$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n$$

4. Demostrar que el número de maneras para cubrir una $2$ $n$ tablero de ajedrez con $2$ $1$ dominó es $F_{n+1}$.

Answer 2

El error al aproximar la proporción de oro desde arriba como una proporción de números de Fibonacci consecutivos es una fracción egipcia de los números de Fibonacci.

PS

https://math.stackexchange.com/a/2307929/134791