Adjudicaciones de levantamiento

Question

¿Existe una prueba conveniente de hom-set de que una adjunción $ F \colon C \rightleftarrows D \colon G $ donde $ F $ es adjunto a la izquierda de $ G $ puede elevarse a una adjunción de categorías de funtores $ F_{*} \colon \operatorname{Funct}(J,C) \rightleftarrows \operatorname{Funct}(J,D) \colon G_{*} $ dada por la postcomposición por $ F $ y $ G $ , donde $ J $ ¿es alguna categoría (pequeña)?

Puedo demostrarlo definiendo explícitamente una unidad y un conteo, pero me gustaría una prueba homóloga.

Answer 1

Para $X : J \to C$ , $Y : J \to D$ tenemos $$\hom(F \circ X,Y) \cong \int_{j \in J} \hom(F(X(j)),Y(j)) \cong \int_{j \in J} \hom(X(j),G(Y(j)) \cong \hom(X,G \circ Y).$$ Aquí, $\int$ se refiere a un fin . Si no conoces este formalismo, puedes traducir la prueba de la siguiente manera: Una transformación natural $F \circ X \to Y$ consiste en una familia de mapas $F(X(j)) \to Y(j)$ que son naturales en $j$ . Desde $F$ es adjunto a la izquierda de $G$ , estos corresponden a los mapas $X(j) \to G(Y(j))$ . Dado que la biyección en la definición de una adjunción es natural, los mapas $X(j) \to G(Y(j))$ también son naturales. Así que terminas con una transformación natural $X \to G \circ Y$ .