Esta es una de esas preguntas en las que el OEIS realmente puede ayudar; sin duda me ayudaron a escribir esta respuesta. La OEIS es como la de Google, pero para las secuencias de números enteros.
Para asegurarse de que estamos en la misma página: un número es irreducible si es divisible sólo por unidades (sólo $1$ en este caso) y asociados (trivialmente en este caso). Pero un número $p$ es primo si siempre $p \mid ab$, $p \mid a$ o $p \mid b$. Si $p \mid ab$ pero $p \nmid a$ e $p \nmid b$ , $p$ no es primo.
A continuación, el irreductible números en su $L$ (prefiero $\mathcal S$) son $$5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, \ldots$$ (look this up in the OEIS for a longer listing). As you can see, this list contains some numbers that are composite in $\mathbb Z$, like $9$ and $21$.
Ahora note que $9 \times 49 = 21^2 = 441$. Obviamente $9 \mid 441$. Sin embargo, $9 \nmid 21$ ni $21$ (estoy escribiendo dos veces a propósito). Por lo tanto, $9$ es irreductible, pero no primos. Esto muestra que la factorización de la en $\mathcal S$ no es siempre única. También podemos concluir que todos los números primos son irreductibles, pero no todos los irreducibles son los principales.
P. S. Un ejemplo más de que la factorización de la en $\mathcal S$ no es siempre único: $693 = 9 \times 77 = 21 \times 33$. Junto con $441$, que debería ser suficiente para encontrar más números al igual que en la OEIS.
