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Question

Intentando calcular$\displaystyle \int{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm dx}$,$$\int{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{(y\tan\theta)^2+y^2}}y\sec^2\theta \mathrm d\theta}=\int{\sec\theta d\theta}=\ln(\sec\theta +\tan\theta)=\ln\left(\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}+\frac{x}{y}\right)=\ln\left(\frac{1}{x}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)\right), donde$x=y\tan\theta$

Sin embargo, Wolfram Integrator de alguna manera devuelve$$\ln\left(2\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)\right) como la respuesta. ¿Qué hice mal? Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: después de corregir el error en el último paso, diferencie la función $$x\mapsto \ln\left(\frac{1}{y}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)\right)-\ln\left(2\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)\right)$$ with respect to $x$. It's easy to do so in your head. Also do not forget that you should consider the absolute value appropriately ($\ int \ frac 1x \ mathrm dx) = \ ln (| x |)$) y para agregar una constante arbitraria cuando se integra.