Forma cerrada de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^n\ln(n)$

Question

¿Existe una forma cerrada de este :

$$\sum_{n=1}^\infty x^n\ln(n),$$ donde $|x|<1$ . Gracias de antemano.

Answer 1

Por definición , $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^a}=\text{Li}_a(x)$ . Ahora, diferenciar ambos lados con respecto a a y, a continuación, deja que $a=0$ .

Answer 2

Admite una aproximación muy sencilla mediante la fórmula de Euler-Maclaurin: $$ I_k = \int_{1}^{\infty}x^k \log x dx = -\frac{x^{k+1}}{k+1}\Bigg|_{1}^{\infty}- \int_{1}^{\infty}\frac{x^{k}dx}{k+1} = O\bigg(\frac{1}{k^2}\bigg) $$ Esto es así porque $\lim_{m \to 1} \lim _{n \to \infty} \frac{1}{2}(f(n)-f(m))=0$