¿Podemos decir$\sqrt {ab} \ge \min \{ a,b\} $?

Question

Dejemos$a,b\in R$ y ambos son positivos.

¿Podemos decir$\sqrt {ab} \ge \min \{ a,b\} $?

Answer 1

Sugerencia :$\sqrt{ab}\geq\sqrt{\min\{a,b\}\min\{a,b\}}=\cdots$

Answer 2

Ciertamente. La función de raíz cuadrada es monotónica, por lo tanto (asumiendo que WOLOG$a \ge b$)$\sqrt{ab}=\sqrt a \sqrt b \ge \sqrt b \sqrt b =b = \min \{a,b\}$

Answer 3

Supongamos sin pérdida de generalidad que$0 < a \leq b$. Como$a > 0$, podemos multiplicar la última desigualdad por$a$. Luego, como$a^2 \leq ab$, tenemos$a \leq \sqrt{ab}$, que es lo que intentas probar.

Answer 4

La respuesta es sí. Por otra parte,$ \min\{a,b\} = \sqrt{a b} \iff a=b$.

Si ayuda, puede echar un vistazo a https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean ; de hecho

PS

El caso especial en el que$$ \min\{a, b\} = M_{- \infty}(a,b) \leq M_p(a,b) = \left( \frac{a^p + b^p}{2}\right) ^ {\frac{1}{p}} \leq M_0(a,b) = \sqrt{a b}, \quad \forall p<0. $ da la llamada media armónica.