¿Cómo puedo deducir que$\lim\limits_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}x=1$ sin la serie de Taylor o la regla de L'Hospital?

Question

¿Cómo puedo calcular este límite sin la serie de Taylor y la regla de L'Hospital? PS

Answer 1

Si existe el límite, diga$L$, entonces puede indicar que: $$ \begin{align} L&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\\ \therefore e^L&=e^{\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}}\\ &=\lim_{x\to0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}\\ &=\lim_{x\to0}(e^{\ln(1+x)})^\frac{1}{x}\\ &=\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}\\ &=e\\ \therefore L&=1 \end {align} $$

Answer 2

Nota $x \geq \log (1+x) \geq \frac{x}{1+x} $ para todos$x > -1$. Desde$\frac{x}{x} \to 1$ y$\frac{\frac{x}{1+x}}{x} \to 1$ como$x \to 0$. Entonces el límite es$1$.

Answer 3

Cambie la variable y use la continuidad de$\ln(x)$

PS

Answer 4

Sugerencia : es igual a la estimación de$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( x+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ x } } } =e$ simplemente sustituyendo a$$t={ \left( x+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ x } }$ $