Problema de cumpleaños dado el primer cumpleaños.

Question

El famoso "problema del cumpleaños", concluye que se necesita para 23 personas para tener un 50% de probabilidad de que algunos de los que dos personas tengan el mismo cumpleaños.

Sin embargo, ¿cómo la cuestión cambia si, dado que la persona 1 es el cumpleaños de 1 de enero, ¿a cuántas personas tendría que tener un 50% de probabilidad de otro 1 de enero de cumpleaños?

Creo que la segunda pregunta requeriría más gente, ya que estamos buscando un par específico, mientras que el original está buscando una pareja. Pero, exactamente, ¿cómo son los números de afectados?

Answer 1

Si tiene$n$ de personas, la número uno cumple años el primer día del año y el$n-1$ restante de sus cumpleaños es independiente y se distribuye de manera uniforme en un año de 365 días, luego las posibilidades de que otra persona un cumpleaños el primer día del año es igual a uno menos la probabilidad de que ninguno de los otros$n-1$ tenga un cumpleaños el primer día del año.

Por lo tanto, desea calcular el$n$ más pequeño de modo que$1-(\frac{364}{365})^{n-1} \ge \frac{1}{2}$. Esto significa que necesitamos$n \geq 1 + \frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln \frac{364}{365}} \approx 253.65$, por lo que necesitamos$n = 254$.

Answer 2

Estás en lo correcto de que el número será mayor. De hecho, va a ser mucho mayor.

Ignorando los años bisiestos, cada persona tiene un $1\over365$ de probabilidad de tener un 1 de enero de cumpleaños, y un $364\over365$ de probabilidad de tener algún otro cumpleaños.

Dado un grupo de $n$ de las personas, la probabilidad de que ninguno de ellos el 1 de enero de cumpleaños, entonces, es $\frac{364}{365}^n$, por lo que la posibilidad de que al menos uno tiene un 1 de enero de cumpleaños es $1-\frac{364}{365}^n$.

Se preguntó cómo un gran $n$ debe ser para hacer de esta oportunidad más de $\frac12$, o, equivalentemente, de cómo un gran $n$ debe ser $\frac{364}{365}^n < \frac12$.

Desde $\frac{364}{365}^{252} = 0.5008\dots$, e $\frac{364}{365}^{253} = 0.4995\dots$, el número mínimo de personas para conseguir un $50\%$ de probabilidad de un 1 de enero de cumpleaños es $253$.