¿Qué hace misma estructura algebraica en la teoría de grupos y cuándo dos grupos tienen la misma estructura algebraica? ¿Qué propiedades hay que comprobar?
Sería estupendo que lo explicaras con algunos ejemplos de grupos con la misma estructura y grupos con diferente estructura.
Compara la tabla de adición mod $4$ y la tabla de multiplicar mod $5$ que se muestra a continuación. Ignore la fila y la columna correspondientes a $0$ en la tabla de multiplicar mod $5$ . Se obtiene un grupo multiplicativo mod $5$ que tiene la misma estructura del grupo aditivo mod $4$ . Las tablas son las mismas cuando se cambia el nombre de los elementos de la siguiente manera: $(0,1,2,3) \to (1,2,4,3)$ . En este sentido, los dos grupos tienen la misma estructura: son iguales cuando se renombran los elementos de un grupo con los del otro. Esto se llama un isomorfismo entre los dos grupos.
El grupo de los cuatro de Klein es otro grupo con $4$ elementos pero no es isomorfo a estos, porque la diagonal es siempre $1$ . No tienen la misma estructura.
(imágenes por cortesía de Wolfram Alpha)
Las respuestas anteriores ya han proporcionado ejemplos muy excelentes, así como la descripción de isomorfismos, por lo que no intentaré proporcionar más.
No obstante, intentaré ofrecer una descripción muy resumida en "términos sencillos". Cuando era estudiante, a menudo me resultaban útiles para captar primero la idea general, antes de profundizar en ella.
Se dice que dos grupos tienen la misma estructura algebraica cuando son versiones disfrazadas unas de otras .
¿Qué quiero decir con "disfrazado"? Quiero decir que
Son exactamente los mismos grupos, sólo que con el elementos denominados de forma diferente .
De manera similar a cómo $x^2=1$ y $y^2=1$ son exactamente las mismas ecuaciones, sólo que etiquetadas de forma diferente.
Como dijo Crostul en el comentario anterior básicamente dos grupos tienen la misma estructura si son isomorfo .
Esta noción tiene sentido para las estructuras del mismo tipo, es decir, para las estructuras que tienen operaciones y relaciones con los mismos nombres .
Un isomorfismo es básicamente una biyección entre los conjuntos subyacentes de las estructuras algebraicas consideradas que preserva la estructura en el caso de estructuras algebraicas donde la estructura viene dada por las operaciones, un mapeo $f \colon A \to B$ es un isomorfismo de la estructura $A$ en la estructura $B$ si y sólo si para cada operación $\sigma$ de aridad $n$ se cumple lo siguiente $$\forall x_1,\dots,x_n \in A\ f(\sigma^A(x_1,\dots,x_n))=\sigma^B(f(x_1),\dots,f(x_n))\ .$$
Denoto por $\sigma^A$ la operación $\sigma$ en $A$ y por $\sigma^B$ la operación correspondiente en $B$ .
Para demostrar que dos estructuras $A$ y $B$ son isomorfos hay que proporcionar un mapeo biyectivo $f \colon A \to B$ que satisface la condición anterior para cada operación de las estructuras subyacentes.
Puedes pensar en un isomorfismo como un diccionario, que renombra elementos de $A$ con elementos de $B$ de tal manera que si realizamos una operación en $A$ y luego traducir el resultado en $B$ o si primero traducir los datos de entrada y luego operar en $B$ obtenemos el mismo resultado.
Ejemplos del mundo de los grupos .
Considere los grupos $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ y el grupo de aplicaciones lineales $\{\text{id},-\text{id}\}$ . Son isomorfos a través del isomorfismo que mapea $\bar 0$ en $\text{id}$ y $\bar 1$ en $-\text{id}$ .
Otro ejemplo es el grupo $\mathbb Z$ y el grupo de traducción de enteros en $\mathbb R$ son isomorfos a través del mapa que envía cada $n \in \mathbb Z$ en la traducción $x \mapsto x+n$ .
Por supuesto $\mathbb Z$ y $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ no son isomorfas porque no puede haber ninguna biyección entre ellas, por lo que tampoco puede haber ningún isomorfismo.
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