Resolviendo

Question

Estoy tratando de resolver$\sum\limits_{k=0}^n k2^k \binom{n}{k}$. Por el teorema del binomio,$\sum\limits_{k=0}^n x^k \binom{n}{k}=(1+x)^n$, observo que$\sum\limits_{k=0}^n kx^k \binom{n}{k}=\left (\sum\limits_{k=0}^n x^{k+1} \binom{n}{k} \right )'$, donde 'indica la primera derivada. Pero $\left (\sum\limits_{k=0}^n x^{k+1} \binom{n}{k} \right )'=(x(1+x)^n)'=(1+x)^{n-1}(1+x+nx)$. Por lo tanto

$\sum\limits_{k=0}^n kx^k \binom{n}{k}=(1+x)^{n-1}(1+x+nx)$. Evaluando en$x=2$, tengo la cantidad$3^{n-1}(3+2n)$. ¿Mi argumento es correcto?

Answer 1

Estás trabajando demasiado duro. Usando$k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$, obtenemos $$\ sum_ {k = 0} ^ n k2 ^ k \ binom {n} {k} = 2n \ sum_ {k = 1} ^ n 2 ^ {k-1} \ binom {n-1} {k-1} = 2n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} 2 ^ k \ binom {n-1} {k} = 2n \ cdot 3 ^ {n-1} .$$

Answer 2

Definitivamente estás en el camino correcto (o al menos en uno ), aunque creo que cometes un pequeño error algebraico cuando dices (efectivamente) que$kx^k=(x^{k+1})'$; más bien,$(x^{k+1})'=(k+1)x^k$ En vez de eso,$kx^k=x\cdot((x^k)')$, pero el resto de su enfoque debe pasar limpiamente. Una vez que tenga un resultado que crea que es correcto, simplemente intente conectar varios valores de$n$ (recuerde probar$n=0$ y$n=1$!) Para verificar.