Cómo encontrar un "mejor descripción" (por ejemplo, la recurrencia de la relación) para esta secuencia?

Question

Mi solución a un problema en el Proyecto de Euler necesaria para resolver este subproblem: encontrar los valores de $k\in\mathrm{N}$ tal que $3k^2+4$ es un cuadrado perfecto.

Como yo estaba escribiendo un programa de ordenador, sólo traté de todos los $k$ y la comprobación de si $3k^2+4$ es un cuadrado perfecto. He resuelto el problema, pero este no es eficiente y que en realidad no responde a la pregunta.

Resulta que esta secuencia es http://oeis.org/A052530hay una fácil relación de recurrencia ($k_n = 4k_{n-1} - k_{n-2}$), y algunas de las fórmulas de forma cerrada para $k_n$ (por ejemplo,$k_n = \left((2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\right)/\sqrt{3}$).

Ahora sé algunas respuestas, pero todavía no veo cómo derivar de la definición. Además, yo no era capaz de demostrar que la recurrencia de la relación de obras (dado que el $k_{n-2}$ $k_{n-1}$ son términos consecutivos de la secuencia, demostrar que $4k_{n-1} - k_{n-2}$ es un término de la secuencia, y que es la siguiente plazo).

Así que mi pregunta es: teniendo en cuenta la definición de la secuencia ($k\in\mathrm{N}$ tal que $3k^2+4=n^2$), ¿cómo puedo encontrar una relación de recurrencia para esta secuencia?

Seré muy feliz si puede utilizar el mismo procedimiento para las otras secuencias similares.

Answer 1

Supongamos que $$3k^2+4=m^2$$ so that $$m^2-3k^2=4$$ o $$(m+\sqrt3k)(m-\sqrt3k)=4$$

y también somos capaces de encontrar una solución a $$p^2-3q^2=1$$$$(p+\sqrt3q)(p-\sqrt3q)=1$$

Entonces $$(p+\sqrt3q)(p-\sqrt3q)(m+\sqrt3k)(m-\sqrt3k)=(p+\sqrt3q)(m+\sqrt3k)(p-\sqrt3q)(m-\sqrt3k)=4$$which becomes$$\left((pm+3kq)+(pk+qm)\sqrt3\right)\left((pm+3kq)-(pk+qm)\sqrt3\right)=4$$so that $$(pm+3kq)^2-3(pk+qm)^2=4$$

Tomamos nota de que $p=2, q=1$ funciona (y es la solución mínima), por lo que, dada una solución de $(m,n)$, tenemos otra solución $(2m+3k, 2k+m)$.

Answer 2

$3k^2+4=n^2$ ; como $n\to \infty$, $3k^2\cong n^2$ ; por lo $\sqrt 3\cong n/k, \sqrt 3-(n/k)\cong 0$ ; tomando $\sqrt 3=x ;kx-n\cong (+/-)0, (kx-n)^m\0$, as $m\to \infty$
$2-x=2-1.732051=0.267949$ $(2-x)^2=(2^2+x^2-2\times 2\times x)=(7-4x)=0.071797$
$(7^2+4^2\times 3-2\times 7\times 4x)=(97-56x)=0.005155$
$(a_1-b_1\times x)\cong 0 $;a continuación, $a_1^2+3\times b_1^2-2\times a_1\times b_1\times x = (a_1-b_1\times x)^2 \cong 0 $o$\to a_2-b_2\times x\cong 0$ donde $a_2=a_1^2+3\times b_1^2 ;b_2=2\times a_1\times b_1$, en este caso, $7^2-4^2\times 3 =1 ;97^2-3\times 56^2 =9409-9408=1$
Este proceso puede ser repetido.

Answer 3

Para derivar la solución a su recurrencia, se presupone que existe una solución de la forma $r^n$. El taponamiento de que en la recurrencia da el polinomio característico $r^2=4r-1$ con soluciones de $r=2\pm \sqrt 3$. Debido a que la ecuación es lineal y homogénea, cualquier combinación lineal de las soluciones es de nuevo una solución y la solución general es $k_n=a(2+\sqrt 3)^n+b(2-\sqrt 3)^n$ a evaluar $a,b$ a partir de sus condiciones iniciales $k_0=0, k_1=2$

Se puede observar otra recurrencia: si $(k_n,m_n)=\left(k_n,\sqrt{3k_n^2+4}\right)$ es una pareja en la serie, $(k_{n+1},m_{n+1})=(2k_n+m_n,2m_n+3k_n)$ es el siguiente.

Una vez que usted tiene esta recurrencia, se puede observar que el$m_{n+1}^2-3k_{n+1}^2=(2m_n+3k_n)^2-3(m_n+2k_n)^2=4m_n^2+12m_nk_n+9k_n^2-3m_n^2-12m_nk_n-12k_n^2=m_n^2-3k_n^2$, lo que muestra $3k_{n+1}^2+4$ es un cuadrado porque $3k_n^2+4$ fue.

Esto no muestra cómo encontrar su recurrencia, ni que éste reciba toda la $(k,m)$ pares.