Convergencia uniforme de la Bergman núcleo del ortonormales base de la representación en subconjuntos compactos

Question

Considere la posibilidad de la Bergman kernel $K_\Omega$ asociado a un dominio $\Omega \subseteq \mathbb C^n$. Por la reproducción de los bienes, es fácil mostrar que $$K_\Omega(z,\zeta) = \sum_{n=1}^\infty \varphi_k(z) \overline{\varphi_k(\zeta)},\qquad(z,\zeta\in\Omega)$$ donde $\{\varphi_k\}_{k=1}^\infty$ es cualquier ortonormales base del espacio de Bergman $A^2(\Omega)$ de Lebesgue cuadrado integrable holomorphic funciones en $\Omega$.

Esta serie representación converge al menos pointwise, desde la Bergman kernel de la serie de Fourier, $K_\Omega(\cdot,\zeta) = \sum_{k=1}^\infty \langle K_\Omega(\cdot,\zeta), \varphi_k \rangle \varphi_k$ $\langle K_\Omega(\cdot,\zeta), \varphi_k \rangle = \overline{\varphi_k(\zeta)}$ converge en la norma que implica la convergencia uniforme en el primer argumento para la renta fija $\zeta \in \Omega$.

Ahora en los Libros, tales como la Teoría de la Función de Varias Variables Complejas por S. Krantz, se muestra que la serie es uniformemente acotada en compacto conjuntos, a saber, $$ \sum_{k=1}^\infty \big| \varphi_k(z) \overline{\varphi_k(\zeta)} \big| \leq \bigg(\sum_{k=1}^\infty |\varphi_k(z)|^2 \bigg)^{1/2} \bigg(\sum_{k=1}^\infty |\varphi_k(\zeta)|^2 \bigg)^{1/2} \leq C(K)^2,\qquad(z,\zeta \in K)$$ donde $C(K)$ es una constante que depende sólo en el conjunto compacto $K\subseteq \Omega$.

Mi pregunta es esta: ¿por Qué hace esto implica la convergencia uniforme sobre compactos pone en $\Omega \times \Omega$? Este es reclamado en varias fuentes, pero acaba de decir y no se ha probado. Me estoy perdiendo algo que es obvio aquí?

Un libro que es un poco más específico es Holomorphic Funciones e Integral de las Representaciones en Varias Variables Complejas por M. Gama. Allí está escrito que la convergencia uniforme sobre compactos de subconjuntos de a $\Omega \times \Omega$ sigue desde el uniforme obligado y una "normalidad " argumento", que tomo como referencia el teorema de Montel. ¿Alguien sabe los detalles sobre cómo este argumento funciona?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

A menos que se me malinterprete, creo que la siguiente declaración puede contestar a su pregunta.

Deje $U\subseteq\mathbb{C}^n$ ser un dominio, y deje $f_n\colon U\to \mathbb{C}$ ser una secuencia de holomorphic funciones convergentes pointwise a una función $f\colon U\to \mathbb{C}$. Supongamos que para cada conjunto compacto $K\subset U$ la familia $\{f_n|_K\}$ es uniformemente acotada. A continuación, $f_n$ converge uniformemente en compactos de conjuntos de a $f$.

Prueba: Por ser localmente, podemos suponer sin pérdida de generalidad que el $f_n$ son uniformemente acotadas en $U$. Por el teorema de Montel, cada subsequence de $f_n$ tiene una larga convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos.

Deje $\mathcal{L}$ denota el conjunto de los límites de las subsecuencias de $f_n$ en la topología de la convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos. Por un lado, $\mathcal{L}$ es no vacío, como acabamos de señalar por el teorema de Montel. Supongamos que $g\in \mathcal{L}$. Luego hay una larga $f_{n_k}$ convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos de a $g$. Sin embargo, desde la $f_n$ se supone que han convergido pointwise a$f$,$g = f$. Por lo tanto $\mathcal{L} = \{f\}$. Esto demuestra que la secuencia de $f_n$ tiene exactamente un punto límite en la topología de la convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos, que exactamente significa que $f_n\to f$ en esta topología. Esto demuestra la declaración.

Para terminar la respuesta a tu pregunta, te gustaría tomar sólo $f_n$ a ser la secuencia en $U = \Omega\times\Omega$$f_n(z,\zeta) = \sum_{k=1}^n \varphi_k(z)\overline{\varphi_k(\zeta)}$. Esto técnicamente no encaja en la hipótesis de la declaración, ya que estos $f_n$ no holomorphic. Sin embargo, si $\overline{\Omega}$ denota $\Omega$ con el conjugado complejo de la estructura, a continuación, $f_n\colon \Omega\times\overline\Omega\to \mathbb{C}$ $f_n(z,\zeta) = \sum_{k=1}^n \varphi_k(z)\overline{\varphi_k(\zeta)}$ es holomorphic, así que usted puede aplicar las anteriores aquí.

Espero que funcione!

Answer 2

La siguiente es una ligera variación de un problema que se plantea en el libro sobre el análisis funcional de Reed & Simon (página 35, problema 33(b)).

Considerar la misma instrucción como en froggie la respuesta, con los mismos supuestos:

Teorema: Vamos a $U\subseteq\mathbb{C}^n$ ser un dominio, y deje $f_n\colon U\to \mathbb{C}$ ser una secuencia de holomorphic funciones convergentes pointwise a una función $f\colon U\to \mathbb{C}$. Supongamos que para cada conjunto compacto $K\subset U$ la familia $\{f_n|_K\}$ es uniformemente acotada. A continuación, $f_n$ converge uniformemente en compactos de conjuntos de a $f$.

Prueba: Aplicar el teorema de Montel para cada sub-secuencia de $(f_n)_n$ y conseguir que cada subsequence ahora tiene un uniformemente convergente (en subconjuntos compactos) sub-sub-secuencia. Desde $(f_n)_n$ converge pointwise, estos límites deben de coincidir con $f$.

Pero entonces, el orignal de la secuencia debe converger a $f$ (en la topología de la convergencia uniforme sobre compactos subconjuntos), para asumir de otra manera, entonces existe $\varepsilon > 0$ tal que para todos los $n$ existe $k(n)\geq n$ tal que $d(f_{k(n)},f) > \varepsilon$ (la métrica es la una de la $H(U)$). Esto contradice el hecho de que $(f_{k(n)})_n$ debe tener un larga que converge a $f$. $\square$

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También me parece haber llegado con otra manera de mostrar esto, sin utilizar el teorema de Montel:

Prueba: Vamos a $K \subseteq U$ ser compacto y elija $V\subseteq U$ abierto tal que $\overline V$ es compacto y $K\subseteq V \subseteq \overline V \subseteq U$.

Desde $\overline V$ es compacto, tenemos $$ |f_n(z)| \leq c(\overline{V}), \qquad(z \in V) $$ donde $c(\overline V)$ es el uniforme de la cota de la $f_n$$\overline V$. La función constante $z \mapsto c(\overline V)$ es Lebesgue integrable en $V$ y domina $(f_n)_n$$V$. Desde $f_n \to f$ pointwise, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada para obtener el $f_n \to f$$L^1(V)$. En particular, $(f_n)_n$ es de Cauchy en $L^1(V)$.

Ahora, considere el espacio de Bergman $A^1(V)$ de absolutamente integrable holomorphic funciones en $V$. Desde $A^1(V)$ tiene la misma norma como $L^1(V)$ y todos los $f_n$ son holomorphic, conseguimos que los $(f_n)_n$ es una secuencia de Cauchy en $A^1(V)$. Pero luego, por la fundamental estimación de los espacios de Bergman (ver, por ejemplo, el libro de Krantz vinculado en la pregunta; la prueba no funciona exactamente de la misma manera para $A^1$ en lugar de $A^2$ y no necesita de la asunción de la conexión), hay una constante $\tilde C(K)$ tal que $$ \sup_{z \in K} |f_n(z) - f_m(z)| \leq \tilde{C}(K) \|f_n - f_m\|_{A^1(V)}.$$ (Una estimación sostiene para todos los conjuntos compactos en $V$.) Por lo tanto, $(f_n)_n$ también es de Cauchy wrt. convergencia uniforme en $K$, por lo tanto convergente por completo. $\square$

Así que, básicamente, esto reemplaza el teorema de Montel con el teorema de convergencia dominada y algunos hechos acerca de Bergman espacios como el ingrediente clave.

Para aplicar esto a mi problema original, uno elegiría $\tilde K \subseteq \Omega \times \Omega$ compacto y elija $V$ por encima de esos que $(\mathrm{pr}_1(\tilde K)\cup \mathrm{pr}_2(\tilde K)) \subseteq V \subseteq \overline V \subseteq \Omega$, donde $\mathrm{pr}_i : \mathbb C^{2n} \to \mathbb{C}^n$, $i=1,2$ son las proyecciones de la primera, respectivamente segundo $n$ componentes de a $\mathbb C^n$. A continuación, tome $\tilde V := V \times V$. Esto es necesario ya que el uniforme de la cota de la Bergman kernel de serie de la representación funciona sólo en los conjuntos de la forma $K \times K$ $K$ compacto en $\Omega$.