Funciones continuas sobre un conjunto finito de uso de (probablemente) la Representación de Riesz Teorema de

Question

Estoy teniendo problemas incluso averiguar cómo llegar a mis manos este problema. Por lo que la instrucción es:

Deje $K$ ser un espacio métrico compacto. Probar: $C(K)$ es reflexiva $\iff K$ es un conjunto finito. [Sugerencia: puede ser útil para mostrar (y uso) que para cada una de las $x\in K$ la función set $\delta_x$ $\operatorname{Bor}(K)$ ser definido por $$\delta_x(A)=\begin{cases}1&\text{if }x\in A\\0&\text{if }x\in K\backslash A\end{cases}$$ es un habitual de medir en $\operatorname{Bor}(K)$.]

Entiendo que esto va a ser una aplicación de la Representación de Riesz Teorema, pero me parece que no puede poner juntos.

Answer 1

Cada delimitada Borel función de $f: K\to\mathbb C$ da un elemento de $C(K)^{**}=M(K)^*$ través $\mu\mapsto \int f\, d\mu$. Si $C(K)$ es reflexiva, a continuación, debe haber una continua $g$ tal que $\int f\, d\mu = \int g\, d\mu$ todos los $\mu\in M(K)$. Por probando esto en $\mu=\delta_x$ (la sugerencia en acción aquí, aunque parece que lo hubiera hecho de todos modos), llegamos a la conclusión de que $f(x)=g(x)$. En otras palabras, cada delimitada Borel de la función en $K$ es continua. Ya podemos tomar $f=\chi_{a}$, esto implica que cada subconjunto de $K$ está abierto. Desde $K$ también es compacto, sino que debe ser finito.

Lo contrario es clara debido a que $K$ finito implica que $C(K)$ es finito dimensionales.