Encontrar una rama de $f(z)= \log(z^3-2)$ que es analítica en $z=0$.

Question

Encontrar una rama de $f(z)=\log(z^3-2)$ que es analítica en $z=0$. Alguien me puede ayudar en esta pregunta? No tengo idea de cómo encontrar una sucursal. La definición de la rama dada en la conferencia

$F$ es una rama de la $f$ dominio $D$ si $F$ es un (único valor) función continua en $D$ y si para todos $z \in D$, $F(z)$ es uno de los valores de $f(z)$. $f$ es un múltiplo de la función con valores.

Answer 1

O sin integración, acaba de tomar $\log$ a ser la "rama natural", es decir, el uno con una rama de corte a lo largo del eje real positivo. O cualquier rama de corte que evite $-2$, para el caso.

Answer 2

Tenga en cuenta que, $z=0$ no es un punto de ramificación de $f(z)$. Para encontrar los puntos de ramificación de $f(z)$, resolver la ecuación

$$ z^3-2=0 \implies z^3= {2} \rm e^{ 2k\pi i } \implies z=2^{1/3} \rm e^{ \frac{2k\pi i}{3} }, \quad k=0,1,2\,. $$

Answer 3

Esta rama puede ser definido (al menos, en el abierto de la unidad de disco centrado en $0$) como sigue. $$ f(z):=\int_0^z \frac {3t^2} {t^3-2}\,dt+\log(-2), $$ where the integration is taken over the interval $[0,z]$ and $\log(-2)=\log 2+\pi i.$