Ecuación racional

Question

mi pregunta

Si $x+\frac{1}{x^2}=3$ a continuación, encontrará $( x^2 -\frac{1}{x})^2$ . Traté de factoring, tomando las plazas de ambos lados y algunas otras cosas que no funcionan. ¿qué debo hacer?

Answer 1

Yo lo hice de la manera difícil: Solucionar $x^3-3x^2+1=0$ que tiene tres raíces reales $x_1,x_2,x_3$ $(-1,3).$ Aquí son las formas cerradas calculada con Maple:

$$x_1 = -\cos(\frac{\pi}{9})+1-\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{9}) \approx -0.532$$ $$x_2 = -\cos(\frac{\pi}{9})+1+\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{9}) \approx 0.653$$ $$x_3 = 2\cos(\frac{\pi}{9})+1 \approx 2.879$$

A continuación, calcular $(x_i^2-\frac{1}{x_i})^2.$ Se puede apreciar que las formas cerradas son aún más complicados.

Answer 2

Contrario a $x+\frac{1}{x^2}=3$, la expresion $x-\frac{1}{x^2}$ no puede ser constante, porque si $(x-\frac{1}{x^2})^2=a^2$ entonces uno tendría $$x^3-3x^2+1=0\\x^3\mp ax^2-1=0$$ from which $$x=\pm\sqrt{\frac{2}{3\mp a}}$$ and this is not compatible with the three distinct possible (real) values of $x$.

Un sencillo cálculo da $$\left(x-\frac{1}{x^2}\right)^2=\left(3-\frac{2}{x^2}\right)^2$$