Cómo es una "interpretación" que se utiliza de manera diferente en los proposicional versus la lógica de primer orden?

Question

Estoy confundido sobre el uso de la palabra "interpretación" y/o "modelo" cuando se trata de lógica proposicional frente a la lógica de primer orden, debido a que hay muchos en conflicto / claro nociones que me gustaría aclarar.

Mi comprensión actual es la siguiente y me gustaría que cualquier corrección / elaboraciones en donde estoy confundido:

Estoy usando la definición de un "modelo" de ser una interpretación que satisface una fórmula o conjunto de fórmulas. En el caso de una teoría podemos tratar a sus axiomas como un conjunto de fórmulas, y así un "modelo de una teoría" significa cualquier interpretación que satisface el conjunto de axiomas de la teoría.

En lógica proposicional una "interpretación" es arbitraria asignación de valores verdadero/falso a todas las proposiciones atómicas en el alfa conjunto. Por ejemplo, $p_0 = T, p_1 = F, p_2 = T, p_3 = F, ...$ y así sucesivamente. Esto nos dice que la fila de una tabla de verdad debemos mirar a la hora de evaluar el "valor de verdad" de cualquier fijo de la proposición.

Pero entonces, en la lógica de primer orden, parece una "interpretación" no es más específicos de asignación de valores a los no-términos de lógica, sino de toda la serie, como los sistemas de "los números naturales", que podría ser también un "modelo" de, por ejemplo, la aritmética de peano, que satisface sus axiomas.

¿Por qué es esto? ¿Por qué no decimos "variables booleanas" modelo de lógica proposicional, entonces? ¿Por qué no se dice que algunos de asignación específica de los valores de satisfacer la lógica de primer orden / PA / etc?

¿Por qué es la interpretación aparentemente se usa de forma diferente en ambos casos? Si una interpretación es lo que podríamos llamar la específica T/F asignaciones en lógica proposicional, entonces ¿cómo llamamos a la elección de un valor booleano sistema en el primer lugar?

Y más de un lado de la pregunta, pero luego lo de la lógica proposicional, como los sistemas de deducción natural que no tienen los axiomas? ¿Qué modelos de "satisfacer" si no hay un conjunto de axiomas para representar a la teoría?

Answer 1

En tanto proposicional y de predicados de la lógica, el valor de verdad de una fórmula siempre es verdadero o falso, una vez que la interpretación ha sido dado. El conjunto $\{true, false\}$ no es algo que elija; es una parte fija de cómo la lógica de obras.

Sin embargo, en el predicado de la lógica, las fórmulas no son todo lo que hay. La lī ogica también tiene términos, que son expresiones que pueden ser las argumentos de la relación de los símbolos. (Por ejemplo, en el lenguaje de la aritmética $2>3$ o $5=x+2$ son fórmulas; $2\cdot 3$ o $x+2$ son términos).

Una interpretación en la lī ogica dice

• Un conjunto que el valor de los términos que pueden extraerse de la. (Esto es, implícitamente, también el conjunto de variables que tienen sus valores).
• Una interpretación de cada uno de los símbolos de función en la lógica del lenguaje. (Por ejemplo, $+$ , en el lenguaje de la aritmética).
• Una interpretación de cada uno de los símbolos de predicado - que es un conjunto de tuplas ordenadas de valores que hacen que el predicado de verdad cuando se da como argumento.

En proposicional de la lógica no hay términos, funciones y predicados. Todas las fórmulas atómicas son letras proposicionales. Visto desde el predicado-la lógica de fondo podemos ver una letra proposicional como un "símbolo de predicado", que no toma operandos. Por lo tanto, si aplicamos el anterior sentido de interpretación, tales como símbolo debe ser representada por el conjunto de $\{()\}$ que contiene el (único) tupla de longitud 0, o el conjunto vacío.

Pero esto corresponde a una opción de la letra proposicional es verdadera o falsa, por eso una "interpretación" para la lógica proposicional es efectivamente el mismo como un mapa de la proposicional cartas a $\{true, false\}$. Todo lo que necesitamos hacer es escribir $true$ e $false$ en lugar de $\{()\}$ e $\varnothing$.

Puesto que no hay condiciones, no hay necesidad de una interpretación para especificar qué tipo de valores en los términos que se tendría si los hubiera.

Answer 2

En ambos casos, una fórmula es una expresión montado a partir de algunas variables/constantes (fórmula de nivel de constantes que no estaba permitido en lógica proposicional, en el curso que he tomado, pero se les permitió en primer orden de teoría). Las variables, simplemente hablando representan los marcadores de posición para los objetos de un cierto tipo.

En lógica proposicional variables son marcadores de posición para los valores Booleanos.

En un primer orden de la teoría, puede haber cierta confusión, ya que tiene la fórmula variables de nivel. Esta es una meta de la nomenclatura enigma, muy típico de la lógica matemática (es decir, teoremas, como los objetos estudiados por la lógica matemática, y meta-teoremas acerca de los objetos estudiados por la lógica matemática). Por esta razón, en el cálculo proposicional, lo que he llamado las "variables" de arriba, se llama propiamente proposicional letras.

Volviendo a la primera orden de las teorías, hay varios tipos de " meta-variables permitidas:

1. Constante de cartas
2. Variable de letras
3. La función de las letras
4. Predicado letras

Estas cosas realmente sólo tiene sentido cuando la interpretación de estas cartas es introducido. Una interpretación implica un conjunto no vacío $D$ (interpretación de dominio). Además, todas las constantes cartas tienen asignado un valor concreto de $D$, en función de las letras se asignan concreto de las funciones de la Cartesiano grados de $D$ a $D$ y el predicado se asignan letras de hormigón Booleano funciones con valores de coordenadas Cartesianas grados de $D$.

Observa la variable de que las letras no son asignados nada aún? Esto es debido a que, en un fijo de la interpretación de la variable de letras se conviertan en verdaderos variables de $D$. Se permiten tomar cualquier valor de $D$ pero, a diferencia de las constantes, no están obligados a ello dentro del marco de la interpretación.

Esta es la interpretación de una teoría. Dentro de ella, podemos interpretar fórmulas. La interpretación de una fórmula se define en concreto secuencia $\{s_n\}$ de los valores de $D$. Cuando se sustituye cada una de las $x_n$ para $s_n$ en una fórmula, obtenemos una computable la expresión de lo que es verdadero o falso. Por lo tanto, una interpretación de una fórmula que depende de los valores que nos sustituto para las variables.

Básicamente, en un primer orden de la teoría, lo primero que interpretar la teoría en sí misma, y sólo entonces realmente podemos interpretar sus fórmulas, mientras que en el cálculo proposicional, podemos interpretar las fórmulas. En cierta medida, se puede pensar en cálculo proposicional como una de primer orden de la teoría, por defecto, interpretado por el conjunto de valores Booleanos, y cuyas fórmulas prohibir cuantificadores.