Definición del espacio tangencial

Question

Estoy viendo una serie de conferencias sobre geometría diferencial, y me he encontrado con un pequeño problema en la definición del espacio tangente. Primero definimos un espacio tangente como $\{(p,v) | v \in \mathbb{R}^n\}$ lo que tiene sentido para mí: es el conjunto de todos los vectores unidos en el punto $p$ . A continuación, definimos la derivada direccional como

$$(Df)(p,v) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{f(p + tv) - f(p)}{t}$$

Lo ampliamos a esto:

$$(Df)(p,v) = \left( \sum_{i = 0}^{n}v_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_{p} \right) f$$

Esto tiene sentido para mí; hemos definido la derivada direccional como un operador que se aplica a la función.

Esta es la parte en la que pierdo el hilo. Entonces me dicen que, si lo pienso bien, la parte dentro del paréntesis es realmente intercambiable con $(p,v)$ . Me temo que he pensado en ello y no veo la equivalencia. $\sum_{i = 0}^{n}v_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_{p}$ es un operador (¿no?) mientras que $(p,v)$ es un par ordenado de elementos de $\mathbb{R}^n$ . ¿Significa eso que la expresión $(p,v)(f)$ ¿tiene sentido? ¿Qué significa eso?

Debo estar pensando en esto de manera equivocada; ¿puede alguien aclararlo?

Answer 1

Creo que la frase "la parte dentro del paréntesis es realmente intercambiable con $(p,v)$ " es bastante engañoso. Esto no es realmente cierto, como usted ha observado correctamente, $(p,v)$ es un par ordenado de elementos de $\mathbb R^n$ mientras que la expresión entre paréntesis es un operador sobre funciones.

Lo que sí es cierto es que existe un mapa lineal desde el conjunto $\{(p,v)|v\in\mathbb R^n\}$ (llamémosle el espacio geométrico tangente ) en el conjunto de operadores diferenciales lineales sobre funciones, que toma el par $(p,v)$ al "operador de la derivada direccional" que has escrito. La imagen de este mapa es el conjunto de derivaciones en $\boldsymbol p$ que es el conjunto de todos los mapas lineales $X\colon C^\infty(\mathbb R^n)\to \mathbb R$ que satisfacen esta regla del producto: $$X(fg) = f(p)X(g) + g(p)X(f).$$ El espacio geométrico tangente es pues canónicamente isomorfo al conjunto de derivaciones en $p$ .

¿Por qué es importante? Porque en una variedad abstracta, el espacio geométrico tangente no tiene ningún significado independiente de las coordenadas, pero el espacio de derivaciones en $p$ hace. Así que tomamos el espacio de las derivaciones en $p$ como nuestro definición del espacio tangente a $M$ en $p$ .

Una vez que te sientas cómodo con el isomorfismo canónico entre el espacio geométrico tangente y el espacio de derivaciones en $p$ Entonces puedes empezar a pensar en ellos como "intercambiables". Pero cuando se trata de aprender estas cosas por primera vez, es más productivo pensar en ellas como canónicamente isomorfas.

Answer 2

La notación habitual para el espacio tangente en un punto $p$ de una variedad diferenciable $M$ es $T_pM$ . Por el definición se puede ver que este espacio es un espacio vectorial que tiene la misma dimensión $n$ como el colector $M$ . Los elementos de $T_pM$ no son "todos los vectores unidos en el punto $p$ '' como dices, pero los vectores, unidos en $p$ que permanecen en el plano tangente al colector en $p$ .

Así, en una notación como $T_pM=\{(p,v):v\in \mathbb{R}^n\}$ $p$ realmente es simplemente un parámetro, que especifica el punto donde tomamos el plano tangente.

Los vectores en $T_pM$ puede representarse, como se observa, como $$\sum_{i = 0}^{n}v_i \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_{p}$$ y podemos pensar en $T_pM$ como un espacio vectorial de operadores lineales con base $$\left(\frac{\partial}{\partial x_i}|_{p}\right) \qquad i=1,2\cdots n \quad p \in M$$ Tenemos un espacio de este tipo para cada $p$ y podemos considerar el conjunto de todos esos espacios tangentes: $$TM=\bigcup_{p\in M}\{(p,v):v\in T_pM \}$$ En esta notación la presencia de $p$ tiene claramente el sentido de parametrizar todos los espacios tangentes, pero nótese que el elemento de $T_pM$ es $v$ , no la pareja $(p,v)$ y $TM$ es el haz tangente de $M$ .