Demostrar que existe un punto de $c$ tal thst $f(c)=c$ para la siguiente función

Question

Si $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función derivable con $f(0)=2$ $|f'(x)| \leq 1/2$ todos los $x$, entonces hay un punto de $c$ tal que $f(c)=c$ .

Mi Intento

Vamos $$h(x)=f(x)-x$$ Now at the point $x=0$ $h(0)=f(0)-0=2$ now we need to find a point $x_0$ such that $h(x_0)<0$ y luego podemos aplicar el teorema del valor intermedio,.
Tomar el intervalo de $(0,5)$ por el valor medio teorema existe una $c \in (0,5)$ tal que $$f'(c)=\dfrac{f(5)-f(0)}{5-0}=\dfrac{f(5)-2}{5}$$
Sabemos, a partir de la pregunta que $$\left|\dfrac{f(5)-2}{5}\right| \leq 1/2$$ and so solving gives us $$-1/2 \leq f(5) \leq 4.5$$ and so for any value in that range $$h(5)=f(5)-5 <0$$ and by intermediate value theorem there exists a $c \in (0,5)$ such that $h(c)=0 \ffi f(c)=c$

Es esto correcto? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sí, sí que lo es. Por casualidad, aunque, se puede aplicar el teorema de punto fijo? También a pesar de que, para aplicar Bolzano/Valor Intermedio debe justificar la continuidad. Esto es un poco nitpicky y es una cuestión de dos o tres palabras, pero aún así es agradable a la incluyen.