¿Por qué se aplica el teorema de Stokes a esta situación?

Question

Estoy pensando en el teorema de Green o el teorema de Stokes, pero no lo sé. Me ha estado volviendo loco todo el día. ¡Ayúdame aquí! Y si no quieres ayudar porque sabes que es tarea, ¡por favor dame algunas pistas! :'(

$\vec{F}(x,y,z) = (2xyz + \sin(x))\vec{i} + (x^2z)\vec{j} + (x^2y)\vec{k}$

$$\int_{c} F \cdot dr$$

Con la parametrización dada por: $c(t) = (\cos^5(t),\sin^3(t),t^4)$

Me dijeron que el teorema de Stokes confirma que la integral de esto es cero pero no estoy entendiendo por qué aplica el teorema de Stokes o cómo saber si debería utilizarlo

Answer 1

Recuerde que el teorema de Stokes es el siguiente:

$$ \int_c F \cdot dr = \int_S ( \nabla \times F) \cdot dS $$

En este caso vemos que

$$ \nabla \times F = \vec{0}$$

Por lo tanto, tenemos que

$$ \int_c F \cdot dr = 0$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\text{curl}\left(\vec{F}\right)=\text{det}\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2xyz +\text{sin}(x) & x^2z & x^2y\end{pmatrix}\,\,.$$ El teorema de Stokes dice que $$\int_C \vec{F} \cdot \text{d}\vec{r}=\int\int_S \text{curl}\left(\vec{F}\right) \cdot \text{d}\vec{S}$$ para una curva de límite simple y cerrada $C$ de una superficie suave $S$ (y cualquier campo vectorial $\vec{F}$). Observe que si $\text{curl}\left(\vec{F}\right) = \vec{0}$, entonces la integral es cero, independientemente de la superficie que encierre $C=c(t)$. La parte más importante del teorema de Stokes para reconocer que aclara su confusión es que: la superficie $S$ puede ser cualquier superficie siempre que su curva límite esté dada por $C$.