Collatz función de la trayectoria del patrón?

Question

Definiciones

$$C(n) = \begin{cases} n/2 & n\equiv 0\pmod2 \\ 3n+1 & n\equiv 1\pmod2 \end{cases}$$

Ver el $C(n)$ algunos $n$ y contar cuántas veces se multiplica por $3$ antes de llegar a $1$, y agregar $1$ a que cuentan. Llamamos a esto el segundo la longitud de la ruta $L_2$ ese $n$ . Contar cuántas veces dividimos por dos, es la primera ruta de la longitud de la $L_1$ ese $n$.

La longitud de la trayectoria de algunos de los $n$ es sólo cuántos números de $n$ salta antes de llegar a $1$ (incluyendo $1$, ya que el $1$ se añaden a la cuenta de $L_2$) y, a continuación,$L_1+L_2$.

Trivial longitudes se pueden ver directamente en los números de la forma $2^k$, lo que ha $L_1=k$$L_2=1$ .

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Ver las imágenes si tomamos $L_1(n)\bmod9, L_2(n)\bmod6$, e $(L_1(n)+L_2(n))\bmod15$ $n=1\dots10^6$ y los píxeles de color en tonos de blanco (negro) dependiendo del valor de estas tres secuencias (consecutivos tales que los restos están cerca de tonos del color), obtenemos los siguientes patrones:

• $a_n= L_1(n)\bmod9$
• $a_n= L_2(n)\bmod6$
• $a_n= (L_1(n)+L_2(n))\bmod15$

Estos $9,6,15$ mod valores son los mejores para una transición más suave de tonos de color.

Cada píxel representa un único valor de $a_n$, los cuales fueron colocados y de color en las imágenes de izquierda a derecha, de arriba a abajo. Podemos dibujar la gráfica desde el centro hacia los bordes, en forma de espiral sobre un cuadrado de celosía, y obtener los mismos patrones pero spiralized:

• $a_n= L_1(n)\bmod9$
• $a_n= L_2(n)\bmod6$
• $a_n= (L_1(n)+L_2(n))\bmod15$

El $L$ patrones de forma periódica simple regiones que están aumentando en tamaño como $n$ crece.

¿Por qué patrones se ven así? ¿Qué es lo que nos dice?

También; Para la comparación, se puede ver secuencias de $n\bmod k$ mismo $k=6,9,15$ normal y en espiral, aquí, para $n=1\dots4096$ (imágenes más pequeñas como de sus patrones son muy pequeños, y repetir exactamente).

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Podemos ver el $L_2$ por ejemplo, y:

Podemos seguir adelante y utilizar $6$ colores (rojo,amarillo,verde,cian,azul,morado) por $L_2$ patrón.

Parcela de $a_n=L_2(n)$ secuencia tal, que el color de las longitudes de la forma $(6k-5,6k-4,6k-3,6k-2,6k-1,6k)$ con los colores correspondientes.

Los matices de cada una de las $6$ colores dependen de $k$. Obtenemos la siguiente imagen:

Aquí está la espiral de la versión.

Lo que hace este espectáculo? Por ejemplo, los números de $900,000$ $945,000$son los números en la mayoría de los fondo azul de la región, lo que significa que si los números están enchufados en el $C(n)$ función, sabemos que la mayoría de las $L_2$ rutas de los $n$ será de la forma $6k-1$.

O por ejemplo, a la hora de recoger un número aleatorio a partir de la roja en el intervalo (región), y conectarlo a la función de collatz, estamos a la espera de más probable es que realice $6k-5$ multiplicaciones (en realidad, $6k-6$ desde $1$ fue añadido en la definición de $L_2$ al principio del post) por $3$ antes de llegar a $1$, en donde el promedio $k$ depende del tamaño de $n$.

Fue este el observado antes? Se puede estimar el tamaño de estos periódicos las regiones?
Para$L_1,L_2$$L_1+L_2$?

Puede esto nos dice nada acerca de la función de collatz, o es sólo una cuidada observación?

¿Por qué se $L_2\bmod6$ $L_1\bmod9$ menos desordenado de los patrones?

Por ejemplo, el uso de $L_2\bmod 5$ en lugar de $L_2\bmod6$ (y color), obtenemos este lío.

El uso de $2,3,4$ son todavía casi tan bueno como el de $6$, pero después de que sus similares a $5$.

Answer 1

No una respuesta, pero algunas cosas me di cuenta de que podría estar vinculado con lo que vio.

El más $n$ es grande, el que tiene más números sucesivos tener el mismo $L_x$ de los valores (...y de módulo). Yo no explorar todavía.

$\pequeño n\quad\quad\quad \scriptsize L_2(n)\> L_1(n) \quad \text{número de la división por dos (comas $\to$ 3n+1) para llegar a 1:}\\ ...\\ 900310\quad26\quad61\quad(1,1,2,2,1,2,2,2,1,8,2,2,2,1,1,3,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900311\quad26\quad61\quad(0,1,1,4,1,2,2,2,1,8,2,2,2,1,1,3,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900312\quad26\quad61\quad(3,1,2,1,1,1,4,1,1,3,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900313\quad26\quad61\quad(0,2,1,5,1,2,2,1,1,3,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900314\quad26\quad61\quad(1,3,2,1,1,1,4,1,1,3,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900315\quad26\quad61\quad(0,1,2,1,1,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900316\quad26\quad61\quad(2,1,1,3,1,1,4,1,1,3,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ 900317\quad26\quad61\quad(0,3,1,3,1,1,4,1,1,3,2,3,4,3,2,1,2,2,1,1,1,3,2,4,1,1,10)\\ ...\\ 901474\quad17\quad47...\\ 901475\quad17\quad47...\\ 901476\quad17\quad47...\\ 901477\quad17\quad47...\\ 901478\quad17\quad47...\\ ...\\ 902209\quad53\quad104...\\ 902210\quad53\quad104...\\ 902211\quad53\quad104...\\ 902212\quad53\quad104...\\ 902213\quad53\quad104...\\ 902214\quad53\quad104...\\ ...$

La relación de $\frac{L_1(n)}{L_2(n)}$ también se discute aquí: (Lo que hace que esta aparente patrón de granizo secuencias?)