Pares primer ternas de números enteros satisfacer $x^2+y^2=z^2$

Question

La siguiente propiedad ha sido declarado sin prueba en la resolución de un problema del libro (y no como un problema, por lo tanto no hay solución). También miré el número teoría de texto que tengo, y no puedo encontrar.

Todos los pares primer ternas de números enteros satisfacer $x^2+y^2=z^2$ se dan por $$x=|u^2-v^2|\;,\;y=2uv\;,\; z=u^2+v^2\;,\;\text{gcd}(u,v)=1\;,\; u\neq v \;\text{mod} \;2$$

En particular, ¿por qué $u,v$ debe ser coprime y $u\neq v\; \bmod \;2$ ya que de lo contrario esto es trivial álgebra. Una referencia o una intuitiva explicación de este resultado sería apreciada.

Answer 1

La razón por la $u$ $v$ coprime y enfrente de la paridad es que se tiene la expresión para la primitiva ternas Pitagóricas, es decir, aquellos que $x$, $y$ y $z$ no tienen ningún factor común, aparte de $1$. Si $u$ $v$ tienen un factor común a $k$ $x$, $y$ y $z$ tienen un factor común a $k^2$, mientras que si $u$ $v$ son ambos impares, a continuación,$x$, $y$ y $z$ tienen un factor común a $2$.

Para ampliar estos para la captura de todas las ternas Pitagóricas, simplemente multiplicar las expresiones para $x$, $y$ y $z$ términos por un entero positivo arbitrario.