Demostrar que la matriz de $B=C$

Question

Deje $A,B$ $n×n$ matrices tales que el $BA = I_n$ donde $I_n$ es la matriz identidad.
$(1)$ Supongamos que existe $n×n$ matriz $C$ tal que $AC = I_n$. Utilizando las propiedades de la multiplicación de la matriz sólo (Teorema 2, sec. 2.1, p.113) muestran que $B = C$.
$(2)$ Mostrar que si $A, B$ satisfacer $BA = I_n$, entonces C satisfacciones $AC = I_n$ existe. Sugerencia: Considere la ecuación de $Ax ̄ = e_i$ $e_i$ - un de los elementos de la norma base de la $R^n$. Demostrar que esta ecuación tiene una única solución para cada una de las $e_i$.
Teorema 2

Intento: $(1)$Ehhm... desde $BA=I_n$ $B$ es la inversa de a $A$. Mismo con $C$. Y puesto que la matriz tiene un único inverso $B=C$. Pero, no veo como para demostrar que el uso de las propiedades de la multiplicación sólo. Tal vez algo como esto: $$A=B^{-1}I_n=B^{-1}\\A=I_nC^{-1}=C^{-1}\\C^{-1}=B^{-1}\\C=B$$

Así que, no estoy seguro acerca de esto porque estoy utilizando la inversa de una matriz, pero me dijo que sólo el uso de las propiedades de la multiplicación. Sugerencias por favor.

$(2)$ Digamos que $BA=I_3$. A continuación, $\vec e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\; ,\vec e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\; ,\vec e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. A continuación, $AC=I_3$ donde $C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}$. Por eso, $A\begin{pmatrix} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{31} \end{pmatrix}= \vec e_1$. Estoy tratando de usar que hacen alusión aquí($A\vec x=e_i$ tiene una única solución).¿Cómo puedo demostrar que este sistema es consistente y tiene una única solución. Gracias.

Answer 1

SUGERENCIAS:

(1)$AC = I_n$. ¿Qué sucede si se multiplican ambos lados de la ecuación con $B$ y el uso de $BA=I_n$?

(2) ¿Qué sucede si se multiplican ambos lados de $Ax=e_i$ $B$ y el uso de $BA=I_n$? Hacer llegar a una solución $x$? Es único?

Después tienes para reunir a todos los $n$ soluciones de las ecuaciones $Ax=e_i$ en la matriz de $C$. (1) luego le dice que $C=B$.