El Isomorfismo de un Espacio Lineal con Su Doble y doble Doble de la

Question

Pregunta

Mirando sobre el ejercicio $3.F-34$ en Álgebra Lineal se Hace la Derecha, me encontré con el siguiente párrafo

Supongamos $V$ es finito dimensionales. A continuación, $V$ $V'$ son isomorfos, pero encontrar un isomorfismo de $V$ a $V'$, por lo general, requiere la elección de una base de $V$. En contraste, el isomorfismo de $V$ $V''$no requiere una elección de la base y por lo tanto se considera más natural.

y estas preguntas se presentaron en mi mente:

$1$. ¿La palabra natural , sólo significa que no tenemos que elegir una base? He visto la palabra canónica se utiliza en la manera similar. Hay una definición más precisa para natural o canónica?

$2$. Suponiendo que la respuesta a la pregunta $1$ es Sí, entonces ¿por qué no es natural isomorfismo de $V$ a $V'$?

$3$. Yo creo que hay una relación entre la respuesta a la pregunta $2$ y la prueba de representación de Riesz teorema. Por lo tanto, si no podemos encontrar un natural isomorfismo entre el$V$$V'$, entonces eso significa que no podemos demostrar de representación de Riesz teorema sin elegir una base de $V$. ¿Es esto cierto?

---

Complementarias Informaciones

El Isomorfismo de $V$ a $V^{''}$.
Supongamos $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Considere el siguiente mapa $$ \Lambda(v)(\phi)=\phi(v), \qquad \forall v \V, \,\, \forall \phi \V^{'} $$ a continuación, $\Lambda$ es un isomorfismo de $V$ a $V''$.

Representación De Riesz Teorema.
Supongamos $V$ es de un número finito de dimensiones lineales de un espacio equipado con un producto interior y $\phi$ es un funcional lineal en $V$. Entonces existe un único vector de $v_0 \in V$ tal que $$\phi(v) = {\langle v,v_0 \rangle}_{V}, \qquad \forall v \in V$$

---

Otras Entradas Relacionadas

He encontrado los siguientes puestos de trabajo relacionados con esta cuestión en el MSE y MO.

Post $1$, Post $2$, Post $3$, Post $4$.

Answer 1

Existe una interpretación natural dentro de la categoría de la teoría que nos permite rigurosamente estado que si bien no es un natural isomorfismo de$V$$V''$, no es natural isomorfismo entre el$V$$V'$. Esta interpretación se explica aquí y aquí. El segundo bit es un poco demasiado elaborado para mí para envolver mi cabeza alrededor, pero voy a explicar de qué se trata el $V \to V''$ mapa que es "natural".

Deje $\mathcal C$ denotar la categoría cuyos objetos son finitos tridimensional de espacios vectoriales. Los morfismos de esta categoría son los lineales de los mapas entre espacios vectoriales. Definimos un functor $F:\mathcal C \to \mathcal C$ $F(V) = V''$ $F([V \overset{f}{\to}W]) = [V'' \overset{f''}{\to}W'']$ . Lo que hace de este un functor es que para cualquier $f:V \to W$$g:U \to V$, tenemos $$ F(f \circ g) = F(f) \circ F(g) $$ Definimos la mucho más simple identidad functorpor $$ \DeclareMathOperator{\id}{id} \id(V) = V; \qquad \id([V \desbordado{f} {\,} W]) = V \desbordado{f} {\,} W $$ Cuando decimos que $V$ es naturalmente isomorfo a $V''$, significa que hay un isomorfismo natural entre los functors $\id$$F$. En este caso, lo que esto significa es que se puede asignar un isomorfismo (invertible morfismos) $\eta_V:\id(V) \to F(V)$ a cada espacio vectorial $V$ tal manera que:

Para cada $f:V \to W$, $\eta_W \circ \id(f) = F(f) \circ \eta_V$

O, como podemos decir que en este contexto (señalando $\id$ es la identidad), necesitamos una $\eta_V:V \to V''$ por cada $V$ tal que

para cualquier $f:V \to W$, $\eta_W \circ f \circ \eta_V^{-1} = f''$

Ahora, ¿qué es esto $\eta_X$? Bueno, basta tomar $$ \eta_V:V \V"\\ [\eta(x)](\alpha) = \alpha(x) $$ Usted sabe que este mapa es un isomorfismo del texto. Ahora, tomamos nota de que, por cualquier $\beta \in V''$, hay un $x_\beta$ que $\alpha(x_{\beta}) = \beta(\alpha)$ cualquier $\alpha \in V'$, y tenemos $\eta^{-1}(\beta) = x_{\beta}$. Con esto en mente, podemos ver que para cualquier $f:V \to W$ cualquier $\beta \in V''$$\alpha \in V'$, tenemos

$$\begin{align} [[\eta_W\circ f \circ \eta_V^{-1}](\beta)](\alpha) &= [[\eta_W\circ f](x_{\beta})](\alpha) \\ &= [\eta_W(f(x_{\beta}))](\alpha) \\ &= \alpha(f(x_{\beta})) \\ &= [\alpha \circ f](x_{\beta}) \\ &= \beta (\alpha \circ f) \\ &= \beta (f'(\alpha)) \\ &= [\beta \circ f'](\alpha) \\ &= [f'' (\beta)](\alpha) \end{align}$$ como se requiere.