¿Qué es la simetría entre las definiciones de los delimitada universal/cuantificadores existenciales?

Question

¿Qué es la simetría entre las definiciones de los delimitada universal/cuantificadores existenciales?

$\forall x \in A, B(x)$ $\forall x (x \in A \rightarrow B(x))$

$\exists x \in A, B(x)$ $\exists x (x \in A \land B(x))$

Estos hacen sentido intuitivo, pero yo esperaría que exista algún tipo de simetría entre la manera en que las definiciones de los delimitada cuantificadores de trabajo, y no puedo ver. $A \rightarrow B$ $\lnot A \lor B$ , que no parece tener una relación directa con $A \land B$. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Considere la posibilidad de $\forall x\in A, B(x)$. Que es si $x$ es un miembro de $A$ $B(x)$ es cierto.

Esto se traduce, como bien poner a $\forall x(x\in A\rightarrow B(x))$, que a su vez se traduce a $\forall x(x\notin A\lor B(x))$.

Denotar $B=\{x\mid B(x)\}$, es decir todos los elementos que satisfacen $B(x)$. Ahora usted tiene que $x\in B \iff B(x)$ es cierto.

Nos re-evaluar la frase anterior: $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$, es decir $A\subseteq B$, o decir $\forall x(x\notin A\lor x\in B)$.

Ahora, considere el existencial de la versión: $\exists x(x\in A\land B(x))$$\exists x(x\in A\land x\in B)$, o en palabras más simples $A\cap B\neq\emptyset$.

Por último, hemos de recordar que el $\lnot\forall x\varphi(x) \iff \exists x\lnot\varphi(x)$. Esto se traduce más bien delimitada cuantificadores:

$$\begin{align} \lnot(\forall x\in A, B(x)) &\iff \lnot\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\\ &\iff \exists x\lnot(x\in A\rightarrow x\in B)\\ &\iff \exists x(x\in A\land x\notin B)\\ &\iff \exists x\in A,\lnot B(x) \end{align}$$

Answer 2

Usted podría pensar que de universal como un mega-intersección, y existencial como un mega-unión. E. g., si $A=\lbrace x_1,x_2,\dots\rbrace$ luego de su primera fórmula es $B(x_1)$ $B(x_2)$ y ..., mientras que el segundo es $B(x_1)$ o $B(x_2)$ o ....

También hay algún tipo de simetría en señalar que "no para todos" es el mismo que "no existe ... no" y "no existe" es el mismo "para todos ... no."

Answer 3

Esto es más simétrica?

$\forall x \in A, B(x)$ $\forall x (x \notin A \lor B(x))$

$\exists x \in A, B(x)$ $\exists x (x \in A \land B(x))$

Answer 4

Como Asaf Karagila dice, los dos conectivas, $\forall x \in A, \ldots$ $\exists x \in A, \ldots$ son de doble el uno del otro.

Como la conjunción / disyunción par o el universal / existencial de la pareja, tenemos que $\lnot (\forall x \in A, \phi(x)) \Leftrightarrow \exists x \in A, \lnot \phi(x)$.

También, si $A$ es un singleton $\{a\}$, los dos conectivos son lógicamente equivalentes, y $\forall x \in A, \phi(x) \Leftrightarrow \exists x \in A, \phi(x) \Leftrightarrow \phi(a)$