Estoy trabajando en un interesante proyecto sobre teoría de la medida. Me pregunto si usted estaría interesado en escuchar acerca de él. Supongamos $S$ es un conjunto que es equinumerous a $\mathbb{R}$. Sabemos que esto significa que existe una función $\phi$: $\mathbb{R}$ $\rightarrow$ $S$ que es uno a uno y sobre. Ahora lo que quiero hacer es dejar que $\mathcal{M}_\phi$ = {$E$ $\subset$ $S$ $\mid$ $\phi^{-1}$$(E)$ $\in$ $\mathcal{M}$}. Quiero ver que $\mathcal{M}_\phi$ $\sigma$- álgebra. Yo tengo claro con $\varnothing$ $\in$ $\mathcal{M}_\phi$. ¿Cómo puedo mostrar las propiedades correspondientes para los complementos de subconjuntos de a $\mathcal{M}_\phi$ y contables de los sindicatos?
Respuesta
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Deje $E \in \mathcal{M}$. A continuación, $\overline{E} \in \mathcal{M}_\phi$ fib $\phi^{-1}(\overline{E}) \in \mathcal{M}$,y, desde el $\phi$ es un bijection, $\phi^{-1}(\overline{E}) = \overline{\phi^{-1}(E)}$ (como un elemento de $S$ no $E$ fib el correspondiente $\phi^{-1}(s)$ no $\phi^{-1}(E)$). Pero, como $\mathcal{M}$ $\sigma$- álgebra, $\overline{\phi^{-1}(E)} \in \mathcal{M}$. Esto prueba la primera parte.
La segunda parte sigue básicamente con la misma facilidad que la primera - desde $\phi$ es un bijection, desplazamientos con el conjunto pertinente de la teoría de operaciones (complementa y sindicatos, en este caso), por lo que las propiedades de $\mathcal{M}$ llevan más de.
También, el resultado es el esperado, debido a la existencia de un bijection $\phi$ significa que, desde el punto de vista de la primaria de la teoría de conjuntos (todo lo que es la definición de $\sigma$-álgebra usa), $S$ $\mathbb{R}$ son "el mismo" (es decir, isomorfo como conjuntos), por lo que es de esperar que el conjunto de los corresponsales de los elementos de $\mathcal{M}$ $\sigma$-álgebra.
