Es $A \mapsto (A-I)^{-1} (A+I)$ bijective en el set $\{A \in M_n(\mathbb R): \rho(A) < 1\}$

Question

Deje $\mathcal S = \{A \in M_n(\mathbb R) : \rho(A) < 1\}$ donde $\rho(\cdot)$ denota el radio espectral. Deje $f: \mathcal S \to M_n(\mathbb R)$ ser dada por $$ A \mapsto (A-I)^{-1}(A+I).$$ Se puede demostrar que los valores propios de la imagen $f(A)$ tienen parte real negativa. Ahora vamos a denotar $\mathcal T = \{A \in M_n(\mathbb R): \text{Re}(\lambda_i(A)) < 0, \text{ for } i=1, \dots, n\}$. Ahora consideremos $f$ como un mapa en $\mathcal T$, es decir, $f: \mathcal S \to \mathcal T$.

Me pregunto si este mapa es bijective. Parece bijective en su imagen $f(\mathcal S)$ ya que si $B = (A-I)^{-1}(A+I) \implies A= (B-I)^{-1}(B+I)$. Pero es surgective en $\mathcal T$?

Answer 1

Todo lo que necesitas hacer es determinar que si $B\in\cal T$ entonces $A=(B-I)^{-1}(B+I) \en\cal S$. This comes down to eigenvalues: if $\lambda$ es en la izquierda la mitad de plano, a continuación, $|(\lambda+1)/(\lambda-1)|<1$. Esto es cierto.