Cómo demostrar a $(1-\frac{1}{n})^n \leq \frac{1}{e} \leq(1-\frac{1}{n})^{n-1}$?

Question

Cómo mostrar $(1-\frac{1}{n})^n \leq \frac{1}{e} \leq(1-\frac{1}{n})^{n-1}$?

Puedo probar la primera desigualdad: tomar el logaritmo de ambos lados y, a continuación, utilice el hecho de que $\log(1+x) \leq x.$

Pero, ¿cómo demostrar la segunda desigualdad? El mismo método no funciona aquí porque tenemos un límite inferior para $\log(1+x)$ ahora.

Answer 1

Tomar logaritmos en la segunda desigualdad para obtener $$-1 \le (n-1) \log(1-1/n)$$ which rearranges to $$- \log(1-1/n) \le \frac{1}{n-1}.$$ You can write this as $$\int_{1-1/n}^1 \frac 1t \, dt \le \frac{1}{n-1}.$$

Desde $f(t) = \frac 1t$ es la disminución en el $[1-1/n,1]$ de su valor máximo no es $1/(1-1/n) = n/(n-1)$. En consecuencia, $$\int_{1-1/n}^1 \frac 1t \, dt \le \frac{n}{n-1} \cdot \frac 1n = \frac 1{n-1}.$$

Answer 2

Esto es suficiente para mostrar que $a_n=(1-\frac{1}{n})^n$ es creciente y $b_n=(1-\frac{1}{n})^{n-1}$ está disminuyendo.

En fin a ver que $a_n$ es el aumento de considerar los números de $1$ $n$ copias de $(1-\frac{1}{n})$, luego por la asamblea general anual de la desigualdad, $$a_{n+1}^{1/(n+1)}=\frac{1+n(1-\frac{1}{n})}{n+1}\geq \left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)^{1/(n+1)}=a_{n}^{1/(n+1)}.$$

Una estrategia similar se puede utilizar para la secuencia de $b_n$. Considerar el número $1$ $n-1$ copias de $(1-\frac{1}{n})^{-1}$ y , después, por la AGM de la desigualdad, $$b_{n+1}^{-1/n}=\frac{1+(n-1)(1-\frac{1}{n})^{-1}}{n}\geq \left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-(n-1)}\right)^{1/n}=b_{n}^{-1/n}.$$

Answer 3

Ver ESTA RESPUESTA para un desarrollo más general de la presentamos en este documento.

Vamos a mostrar que el $\left(1-\frac1n\right)^n$ $\left(1-\frac1n\right)^{n-1}$ son el aumento y la disminución de las secuencias, respectivamente, utilizando la Desigualdad de Bernoulli.

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Deje $a_n=\left(1-\frac1n\right)^n$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}&=\frac{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac1n\right)^n}\\\\ &=\left(1-\frac1n\right)\,\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n+1} \tag 1\\\\ &\ge \left(1-\frac1n\right)\,\left(1+\frac{1}{n-1}\right) \tag 2\\\\ &=1 \end{align}$$

donde ir de $(1)$$(2)$, hemos explotado la Desigualdad de Bernoulli. Por lo tanto, $a_n$ es monótonamente creciente. Desde su límite es $1/e$ hemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left(1-\frac1n\right)^n\le \frac1e} \tag 3$$

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Deje $b_n=\left(1-\frac1n\right)^{n-1}$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}&=\frac{\left(1-\frac1n\right)^{n-1}}{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n}}\\\\ &=\left(\frac{1}{\left(1-\frac1n\right)}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \tag 4\\\\ &\ge \left(\frac{1}{\left(1-\frac1n\right)}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right) \tag 5\\\\ &=1 \end{align}$$

donde ir de $(4)$$(5)$, hemos explotado de Bernoulli de la Desigualdad de nuevo. Por lo tanto, $b_n$ es monótonamente creciente. Desde su límite es $1/e$ hemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left(1-\frac1n\right)^{n-1}\ge \frac1e} \tag 6$$

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Poner a $(3)$ $(6)$ produce el codiciado desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left(1-\frac1n\right)^{n}\le \frac1e \le \left(1-\frac1n\right)^{n-1}}$$