La probabilidad de "Paradoja" he estado pensando de

Question

Anoche pensé en una probabilidad "paradoja" de que me gustaría que si alguien puede aclarar para mí.

No pude encontrar esta versión de ella en cualquier lugar (pensé yo) así que espero que no sea algo que ha sido contestado antes.

La paradoja es esta:

supongamos que tenemos 2 amigos, Alice y Bob, y les dejamos jugar a un juego: el "game master" pone una nota con un número natural en la frente de Alice, y lo mismo pasa con Bob (Los dos números pueden ser iguales o diferentes). Cada uno de ellos, se pidió al estado un número natural que es mayor (o igual a) el número en su frente. Ellos ganan si al menos uno de ellos es correcto.

En la primera versión del juego, ambos están en habitaciones separadas, y que no sabemos nada acerca de su amigo en la otra habitación.

En la segunda versión del juego, que están sentados en frente el uno del otro, y se puede ver el número de su amigo de la frente.

Ahora, de forma intuitiva, no debería haber ninguna diferencia entre sus posibilidades de ganar el juego en ambas versiones, porque el número de su amigo frente les da absolutamente ninguna información sobre su número.

Pero esto no es cierto. En la segunda vesrion, se puede utilizar la estrategia simple de sólo indicando el número de su amigo de la frente. Asegura ganar porque uno de los dos números es mayor (o igual) que el otro.

Sin embargo, creo que es bastante obvio que no hay nada que puedan hacer en la primera versión. No sé mucho acerca de la probabilidad, pero intuitivamente creo que su oportunidad de ganar es en realidad $0$ (es algo que tiene sentido?) - indica "$1$" no es realmente mejor que indica "$10^{10^{100}}$" de alguna manera.

Así que la paradoja es: ¿cuál es exactamente la información extra que recibió en el seocnd versión? ¿Cómo funciona este sentido?

Me encantaría escuchar sus explicaciones. Creo que es una hermosa paradoja, pero no puedo pensar en nada más convincente que decir al respecto.

Gracias por su tiempo a la lectura de la pregunta!

Answer 1

Vamos a suponer que en el caso de que ellos no pueden ver cada uno de los otros dos tienen un 50% de probabilidad de adivinar un número de al menos tan grande como su propio (por ejemplo si se elige su estimación mediante el mismo azar protocolo como el maestro de juego). La cosa importante a observar es que sus posibilidades de éxito son independientes, por lo que hay un 25% de probabilidad de cada resultado posible de Alice y/o Bob ganar o no ganar.

En el caso donde se puede ver el uno al otro, sus probabilidades de éxito se han mantenido igual al 50%, pero son no independientes. Hay 0% de probabilidad de que ni ganan ni que ganar, y 50% de probabilidad para cada uno de los casos que sólo Alicia gana o sólo Bob gana. Por lo tanto, han aumentado la probabilidad de que al menos uno de ellos gana.

Considere la siguiente identidad:

$P(A)+P(B)=P(A \text{ or } B)+P(A \text{ and } B)$

esto significa que incluso cuando $P(A)$ $P(B)$ siendo la misma podría ser posible aumentar el $P(A \text{ or } B)$ lo largo de la disminución del $P(A \text{ and } B)$. Tenga en cuenta que cuando Alice y Bob pueden ver unos a otros que la probabilidad de que ambos ganar es del 0%.