Es fácil ver que una vez que se obtiene una forma cerrada de fórmula para las AUC.
Ya tenemos número finito de muestras $\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^N$, vamos a tener número finito de puntos en la curva ROC. Softonic interpolación lineal entre ellas.
En primer lugar, algunas definiciones. Supongamos que nos gustaría para la evaluación de un algoritmo de $A(x)$ que genera una probabilidad de $x$ acostado en el positivo de la clase $+1$. Vamos a definir $N_+$ como el número de muestras de la positiva clase $+1$ $N_-$ como el número de muestras de la clase negativa $-1$. Ahora, para un umbral de $\tau$ vamos a definir Falsos Positivos-Tasa (FPR, también conocido como 1-especificidad) y Positivos Verdaderos-Tasa (TPR, también conocido como sensibilidad):
$$
\text{TPR}(\tau) = \frac{\sum_{i=1}^N [y_i = +1] [(x_i) \ge \tau]}{N_+}
\quad \text{y} \quad
\text{PM}(\tau) = \frac{\sum_{i=1}^N [y_i = -1] [(x_i) \ge \tau]}{N_-}
$$
(donde $[\text{boolean expression}]$ es 1 si la expresión es positiva, y 0 en caso contrario). Entonces, la curva ROC es construir a partir de los puntos de la forma $(\text{FPR}(\tau), \text{TPR}(\tau))$ para diferentes valores de $\tau$. Por otra parte, es fácil ver que es que el fin de nuestras muestras $x_{(i)}$ según el algoritmo de la salida de $A(x_i)$, entonces ninguno de los $\text{TPR}$ ni $\text{FPR}$ no cambia para $A(x_{(i)}) < \tau < A(x_{(i+1)})$. A fin de evaluar la IAP y TPR sólo para $\tau \in \{A(x_{(1)}), \dots, A(x_{(N)})\}$. Para $k^{\text{th}}$ punto tenemos
$$
\text{TPR}_k = \frac{\sum_{i=k}^N [y_{(i)} = +1]}{N_+}
\quad \text{y} \quad
\text{PM}_k = \frac{\sum_{i=k}^N [y_{(i)} = -1]}{N_-}
$$
(Nota: todos los valores son no creciente). Tener interpolados linealmente estos puntos se puede calcular el área bajo la curva (Utilizando una fórmula para el área de un trapecio):
$$
\text{AUC} = \sum_{k=1}^{N-1} \frac{\text{TPR}_{k+1} + \text{TPR}_{k}}{2} (\text{PM}_{k} - \text{PM}_{k+1}) \\
= \sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sum_{i=k+1}^N [y_{(i)} = +1] + \tfrac{1}{2} [y_{(k)} = +1]}{N_+} \frac{[y_{(k)} = -1]}{N_-} \\
= \frac{1}{N_+ N_-} \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{i=k+1}^N [y_{(i)} = +1] [y_{(k)} = -1]
= \frac{1}{N_+ N_-} \sum_{k < i} [y_{(k)} < y_{(i)}]
$$
Aquí he utilizado el hecho de que $[y = -1] [y = +1] = 0$, independientemente del valor de $y$.
Así que ahí lo tienen: el AUC es proporcional al número de correctamente los pares ordenados, que es proporcional a la probabilidad de azar par de muestras que se clasifican de acuerdo a sus etiquetas.
