Asesoramiento en la búsqueda de contraejemplos

Question

Estoy llegando para el asesoramiento específico sobre cómo uno debe ir sobre la búsqueda de contraejemplos. Parece que casi cada vez que he intentado una "encontrar un contraejemplo" problema, tengo que hacer trampa pidiendo a un amigo, o tengo que usar un ordenador. Dicho esto, me he encontrado con otro problema que puedo ver la solución, y probablemente a entender por qué es un contador de ejemplo después de que me es dada, pero me siento impotente cuando se trata de encontrar realmente. Dicho esto, me pregunto si alguien podría publicar un contraejemplo para el siguiente problema y que me explique su proceso de pensamiento. Esto me ayudaría mucho.

Problema: Dar un ejemplo de dos subgrupos $H$ $K$ de un grupo de $G$ cuya unión $H\cup K$ no es un subgrupo de $G$.

Lo lejos que he llegado: yo sé que un subconjunto no vacío $H$ de un grupo finito $G$ es un subgrupo si y sólo si $a,b\in H$ implica $ab\in H$. Mediante este podemos saber que Si $a,b\in H\cup K$, pero $ab\not \in H\cup K$, $H$ no es un subgrupo de $G$. Así que sé lo que es un contraejemplo debe mirar como si lo veo, pero ¿cómo puedo encontrarlo?

Muchas gracias.

Answer 1

Tal vez la mejor manera de ir sobre estas cosas es mirar hacia lo más simple posibles contraejemplos primera. Por ejemplo, si usted ha tomado en el punto establecido de la topología, usted sabrá que la indiscreta y topología la topología discreta son los dos primeros espacios que deberían estallar en su mente cuando se busca ejemplos, simplemente porque ellos son tan fácilmente "grokked" por nuestra mente (seguido por la métrica de los espacios, a continuación, espacios de Hausdorff, y así sucesivamente).

Entonces, ¿qué pasa cuando se trata de este tipo de problemas en álgebra abstracta? Pues bien, hemos estado bien familiarizados con el aditivo grupo $\mathbb{Z}$ desde la escuela primaria! ¿Por qué no empezar por ahí?

Mi (ingenuo) consejo es intentar hacer que una propiedad fallar en simple, fácil-a-trabajar-con estructuras en primer lugar, y sólo sumergirse en la abstracción como un último recurso. Finalmente, como regla general, es más fácil probar algo una vez que usted ha desarrollado un cierto grado de intuición y están convencidos de que el resultado debe ir de una manera o de otra. La gran Riemann transmitido este mejor: "Si tan sólo tuviera los teoremas! Entonces tengo que encontrar las pruebas que suficiente."

Answer 2

Si usted no encuentra un contraejemplo utilizando los métodos ya se ha sugerido, intentan demostrar el teorema, y ver a dónde te quedas atascado: esto puede darte una mejor idea de las propiedades que un contraejemplo va a tener, y eso es invaluable de información cuando usted está buscando un contraejemplo o tratando de construir uno desde cero. Esto en realidad no se plantea en el caso bajo consideración, porque contraejemplos son muy fáciles de encontrar: es casi más difícil no encontrar uno. En más de una configuración complicada, sin embargo, la técnica es muy útil.

Answer 3

En este caso particular del Teorema de Lagrange es la primera cosa que viene a mi mente. Si hemos de escoger sólo dos subgrupos $H, K \leq G$, no hay ninguna razón para que los $|H \cup K|$ brecha $|G|$, mientras que se debe, para ser un subgrupo.

La forma más fácil tipo de $|G|$ es algo de poder de $2$ (esto me da la opción de búsqueda de los dos subgrupos de orden $2$ cuya unión debe tener el tamaño de $3$, al instante la descalificación de la unión de un subgrupo, como $3 \not\mid 2^n$).

Así que escoja su favorito de los dos subgrupos de la Klein $4$-grupo!

Para intentar entrar en un poco más de detalle acerca de el, aunque el proceso/consejos específicos de la teoría de grupos. El Teorema de Lagrange es uno de los más fundamentales de los resultados relativos a la relación entre un grupo y sus subgrupos. Por lo tanto, parece natural para mí que deberíamos ser capaces de encontrar algunos contra-ejemplo de la utilización de algo tan fundamental. Casi todos los de mi grupo de teoría de fondo es en el caso finito, donde la divisibilidad juega un papel enorme.

Así que, yo se concentró en uno de los la mayoría de los teoremas fundamentales que tenemos, con respecto a un grupo y sus subgrupos. Entonces pensé en qué condiciones en $H, K$ iba a hacer el descubrimiento de la $H, K$ tan fácil como sea posible, de modo que no podría ser el caso de que $|H \cup K|$ divide $|G|$. El uso de los subgrupos de tamaño $2$ es agradable, como $H \neq K$ implica inmediatamente que $|H \cap K| = 1$, por lo que el $|H \cup K| = 4 - 1 = 3$.

Tener un puñado de pequeños grupos, pequeños o 'tipos' de los grupos también hace maravillas, como el Klein $4$-grupo aquí.

Answer 4

Parece que la gente ya han llegado con las respuestas sobre el problema en particular, así que creo que voy a tirar un par de palabras en torno a cómo encontrar contraejemplos. Tengo dos estrategias básicas de mí que yo uso cuando se piensa acerca de teoremas y problemas.

1) Consultar una lista de ejemplos de lo contrario. Esto es realmente una buena estrategia en temas como el análisis y la topología. No sé si funciona bien en álgebra, pero espero que existen varios conocidos patológico contra-ejemplos. Aunque no tengo un montón de experiencia, espero que grupos como el de Klein 4-grupo, y quizás escalar copias de los enteros son probablemente muy buenos puntos de partida en la teoría de grupos. Incluso si usted no tiene una lista de contra-ejemplos para trabajar, usted no se tiene conocimiento cierto de las clases de grupos, y así que usted puede tratar de trabajar con algunos de ellos. Tomar un pase en escalar las copias de los números enteros. Si eso no funciona, creo, acerca de por qué no funcionó. Tal vez los enteros modulo de un primer trabajo.

2) Tratar de construir el contador específico-por ejemplo, que usted tiene en mente. Este método es generalmente un poco más difícil, pero a veces es un buen método. Es lo que yo haría para resolver este problema en particular, y es básicamente lo que pjs36 hizo en su respuesta. Para utilizar este método más directo, el punto es tratar de cuantificar algunas de las facetas de la cosa en cuestión, y lo utilizan para crear el objeto que desea. En su ejemplo, él está diciendo básicamente que si $|G|$ es de orden 4, y tiene dos subgrupos normales, cada uno tiene orden 2, pero son de diferentes grupos, tanto con la identidad. Así que cada uno de ellos contiene la identidad y uno de otro elemento. Pero a continuación hay tres elementos, por lo que esta cosa no puede posiblemente ser un subgrupo desde el 3 no divide a 4. El truco para esta última técnica es tener una relación suficientemente simple teorema o incluso una regla básica que se puede utilizar como una línea de guía, que eventualmente terminan violando. El teorema de Lagrange es que el teorema en este caso, ya que es un muy simple y útil para contar teorema que da un montón de información significativa.

Y por supuesto, como con todos los problemas y todas las habilidades en general, la práctica es lo más importante. Si usted simplemente está buscando una práctica que viene con ejemplos de lo contrario, hay dos pequeños libros que usted puede comprobar hacia fuera, contra-ejemplos en el Análisis y la contra-ejemplos en la Topología. Usted puede leer estos libros y tratar de llegar con el contra-ejemplo antes de la lectura de la prueba. Si usted no lo puede ver, leer lo que el contra-ejemplo, y luego tratar de llegar a la prueba usted mismo. Si usted todavía no puede ver el truco, luego de leer la prueba, y tratar de tomar notas sobre lo que es en el trabajo, conceptualmente, así que usted puede ver exactamente lo que ha de ser explotados con el fin de llegar con la contra-ejemplo.

Sé que esto no es exactamente relacionados con sus luchas en álgebra, pero la topología de texto realmente me ayudó cuando yo estaba en una situación similar.

Answer 5

Usted podría tratar de trabajar con los grupos que ya están familiarizados, tales como subgrupos de los números enteros. Planteado de esa manera, se solicita a encontrar dos conjuntos que están cerrado bajo la suma y la recíproca, pero su unión no está. La única subgrupos aquí tienen la forma $n \mathbb Z$. Es la unión de dos conjuntos va a ser un subgrupo? El primer lugar para buscar es en$2\mathbb Z$$3 \mathbb Z$.