La unión de un subespacio y su complemento ortogonal

Question

La siguiente declaración que parece ser cierto, pero no estoy seguro:

Para cualquier subespacio $A$$\mathbb{R}^n$, no es un vector distinto de cero $\vec{x}$ tal que $\vec{x}\in A\cup A^\bot$ y cada entrada de $x$ es no negativa.

Estoy pidiendo una prueba formal o un contraejemplo. Por otra parte, es de $A\subseteq \mathbb{C}^n$?

Answer 1

Sugerencia. Mostrar que si $A$ no tiene un valor distinto de cero $x$ todos no negativos entradas, entonces debe haber un vector $x$ con al menos una coordenada de cada signo. A continuación, muestran que existe un vector ortogonal a un $x$ con todas las coordenadas no negativo.

Answer 2

Los casos de $A=(\text{the whole space})$ $A=\{0\}$ son triviales, así que voy a asumir que $\dim A>0$ $A$ es adecuado.

Caso complejo: No, porque no hay ninguna garantía de que $(A\cup A^\perp)\cap \Bbb R^n\ne\{0\}$. Por ejemplo, considere la posibilidad de $\Bbb C^2$, $A=\operatorname{Span}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$, $A^\perp=\operatorname{Span}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$

Caso Real: Sí. Elija una matriz de $Q\in \Bbb R^{n\times (n-\dim A)}$ las columnas de las cuales abarcan $A^\perp$ y un análogo de la matriz $P\in\Bbb R^{n\times\dim A}$$A$. A continuación,\begin{cases}x\in A&\iff Q^Tx=0\\ x\in A^\perp&\iff P^Tx=0\end {casos}

Ahora, hay un corolario de Motzkin del teorema:

Teorema (Gordan): Vamos a $M$ ser una matriz. Los siguientes son equivalentes

1. El sistema de $\begin{cases} Mx=0\\ x\ge0\\ x\ne0\end{cases}$ tiene una solución

2. Las inecuaciones $M^Ty>0$ no tiene solución.

donde $x\ge0$ $M^Ty>0$ se entiende como componente sabio desigualdades (sino $x\ne0$ tiene el significado usual).

A la luz de esto, la negación de su reclamo es equivalente a afirmar que el sistema de $$\begin{cases} Qy>0\\ Pz>0\end{cases}$$ has solutions $y,z$.

Pero, por hipótesis, $Qy\in A^\perp\setminus\{0\}$$Pz\in A\setminus\{0\}$, lo cual no es consistente con la suposición de que $(A\cup A^\perp)\cap \Bbb R_+^n=\{0\}$