Probabilidad de Ocurrencia de CORAZÓN o de la TIERRA

Question

Esta es una de las preguntas que me encontraba y yo sólo podía resolver parcialmente. La pregunta iba

Un hombre es al azar escribiendo en un teclado. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la palabra CORAZÓN viene antes que la TIERRA?

Mis intentos

El primer $4$ letras de la TIERRA son los mismos que el pasado 4 de CORAZÓN.

La TIERRA para aparecer antes de CORAZÓN, cualquier letra distinta de H debe de haber aparecido primero y, a continuación, debe ser seguido por la TIERRA, y, a continuación, un H más tarde.

Para el CORAZÓN, para aparecer en los primeros antes de que la TIERRA, sólo la letra H debe de haber aparecido primero y, a continuación, puede ser seguido por EART.

Desde entonces, el número de letras que aparecen en el caso de CORAZÓN es menor que la TIERRA, la probabilidad de ocurrencia de CORAZÓN es mayor que la de la TIERRA.

Para calcular cuánto, sólo estoy pensando en el caso de

La TIERRA primero: $$P(E)=\frac{25}{26}.\frac{1}{26}.\frac{1}{26}.\frac{1}{26}$$

Primer CORAZÓN: $$P(E)=\frac{1}{26}.\frac{25}{26}.\frac{25}{26}.\frac{25}{26}$$

Obviamente, esto no es correcto, ya que no da a ningún individuo de la probabilidad para la ocurrencia de cada letra.

Así que, ¿alguien puede calcular la probabilidad de cada uno de estos dos?

Answer 1

Usted puede asumir la tecla opciones son H, E, a, R, T, X, donde "X" representa cualquier otra tecla que no es H, E, a, R y T. Estos se escriben con probabilidades $a, a, a, a, a, 1-5a$, respectivamente, para $0< a\leq 1/5$.

A continuación, se puede modelar la situación con un número finito de estado de tiempo discreto de la cadena de Markov. Por ejemplo, el estado inicial puede ser la etiqueta de INICIO, hay una interceptación de estado del CORAZÓN, y otra interceptación de estado de la TIERRA. ($i$ Es una "captura del estado" si $P_{ii}=1$, es decir, una vez alcanzado, la probabilidad de permanecer allí es 1).

Se puede definir todos los estados en el espacio de estado $S$, dibujar la cadena, y la etiqueta de las probabilidades de transición?

A continuación, defina $p(i)$ como la probabilidad de que el tiempo termina en el CORAZÓN, dado que de inicio en el estado de $i \in S$, y escribir ecuaciones recursivas para $p(i)$. Entonces la probabilidad de que eventualmente terminan en el CORAZÓN es sólo $p(START)$. Tenga en cuenta que$p(HEART) = 1$$p(EARTH)=0$.

Answer 2

Primero un poco de notación - deje $E(s)$ denotar el número esperado de las letras que se escriben antes de cadena $s$ que se observa.

Ahora supongamos que $E(HEART) < E(EARTH)$. Las letras se escriben al azar, así que podemos cambiar el nombre de las letras, sin afectar las probabilidades. Por el cambio de nombre de las letras H a E E a a, etc. podemos mostrar que $E(EARTH) < E(ARTHE)$. Y aplicando este argumento varias veces hemos

$E(HEART) < E(EARTH) < E(ARTHE) < E(RTHEA) < E(THEAR) < E(HEART)$

lo cual es una contradicción.

Si asumimos $E(HEART) > E(EARTH)$ también podemos derivar una contradicción. Así que la única conclusión posible es$E(HEART) = E(EARTH)$, por lo que la probabilidad de que el CORAZÓN se observa antes de que la TIERRA es de 0,5.

(Esto es esencialmente un argumento de simetría).