Tomar cualquier $\bar{r} \in \mathbb{R}$$\bar{r}>0$.
Suponga que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es continua.
Asumir que todos los $r\in [0,\bar{r})$, existe una estrictamente decreciente real secuencia $\{t(r)^n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que
$t(r)^1 = r$,
y para todos los $n \in \mathbb{N}\backslash\{1\}$,
$ 0 < t(r)^n < r, \qquad$ (1)
y
$f\big(t(r)^n\big) - f\big(t(r)^{n-1}\big) \geq 0. \qquad$ (2)
Pregunta : ¿es posible tener $f(0) < f(\bar{r})$ o es necesariamente inducir una contradicción?
Lo que he hecho hasta ahora:
- He intentado trabajar por la contradicción, suponiendo que $f(0) < f(\bar{r})$ mantiene.
- Debido a $t(\bar{r})^n$ está delimitado por (1), se tiene una convergencia larga, decir $t(\bar{r})^{m(n)} \rightarrow r^*_1$.
- Sabemos, a partir de (1) y el hecho de que la sucesión es estrictamente decreciente que $0 \leq r^*_1 < \bar{r}$.
- Usando (2) repetidamente junto con la continuidad de $f$, obtenemos $f(r^*_1) - f(\bar{r}) \geq 0$.
- A continuación, por la contradicción de la asunción obtenemos $f(r^*_1) > f(0)$.
- Si $r^*_1 = 0$, hemos llegado a una contradicción y hemos terminado.
- De lo contrario, podemos repetir el proceso una y otra vez, consiguiendo $0 \leq r^*_2 < r^*_1$, $0 \leq r^*_3 < r^*_2$, ...
- Pero no veo por qué tendríamos necesariamente que llegar a algunos $r^*_{n}$ tal que $r^*_{n}=0$. Es el caso? Son sus contraejemplos?
