primaria prueba de que el infinito de los números primos residuo cuadrático módulo $p$

Question

$p \gt 2$ es un número primo, entonces hay infinitos números primos $q$ tal que $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$.

Con del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, el problema es fácil! ¿Y Sin el uso del teorema? Uno puede encontrar una primaria de la prueba?

p.s. hay varias formas elementales(sin Dirichlet) para demostrar que hay infinitos números primos $q$ tal que $q$ es una ecuación cuadrática no-residuo modulo $p$

Prueba 1 El menos $q>0$ cuadrática no-residuo modulo $p$ es un primo . Considere la posibilidad de

$$a_0=q, a_1=q+p,a_2=q+pa_1,a_3=q+pa_1a_2,\dotsc, a_n=q+pa_1a_2\dotsb a_{n-1},\dotsc $$ a continuación, $(a_i,a_j)=1$

Prueba 2 $\dfrac{p-1}2$ cuadrática no residuos modulo $p$, por lo que existe un entero $a$ tal que $(\dfrac{a^2+1}p)=-1$.

No, sólo finita $q_1,q_2,\dotsc, q_n$. entonces existe $k\in\Bbb Z$ tal que $kq_1q_2\dotsb q_n \equiv a \pmod p$. Considere la posibilidad de

$$ (kq_1q_2\dotsb q_n)^2 +1$$

Answer 1

Dado IMPARES primos $p \neq q:$ $$ \color{magenta}{p \equiv 3 \pmod 4} $$

Lema: $$ (-p|q) = (q|p). $$

Lema: Si $$ a^2 + p \equiv 0 \pmod q, $$ THEN $$ (q|p) = 1. $$

Deje $$ F_1 = 4 + p, $$ $$ F_2 = 4 F_1^2 + p, $$ $$ F_3 = 4 F_1^2 F_2^2 + p, $$ $$ F_4 = 4 F_1^2 F_2^2 F_3^2 + p, $$ $$ F_5 = 4 F_1^2 F_2^2 F_3^2 F_4^2 + p, $$ y así sucesivamente.

Estos son todos de la forma $a^2 + p$ y son impares, por lo que el único de los números primos que pueden ser factores son cuadrática de los residuos de la $p.$ el Próximo, todos los $F_j$ son de primer a $p$ sí. Finalmente, todos estos son coprime. Así que, sin embargo, el factor, se obtiene una lista infinita de números primos que son residuos cuadráticos de $p.$

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Dado IMPARES primos $p \neq q:$ $$ \color{magenta}{p \equiv 1 \pmod 4} $$

Lema: $$ (p|q) = (q|p). $$

Lema: Si $$ a^2 - p \equiv 0 \pmod q, $$ THEN $$ (q|p) = 1. $$

ENCONTRAR incluso una plaza de $$ W = 4^k = \left( 2^k \right)^2 $$ que $$ \color{magenta}{ W > p.} $$

Deje $$ F_1 = W - p, $$ $$ F_2 = W F_1^2 - p, $$ $$ F_3 = W F_1^2 F_2^2 - p, $$ $$ F_4 = W F_1^2 F_2^2 F_3^2 - p, $$ $$ F_5 = W F_1^2 F_2^2 F_3^2 F_4^2 - p, $$ y así sucesivamente. Como $p \equiv 1 \pmod 4$ $W \equiv 0 \pmod 4,$ sabemos $W - p \equiv 3 \pmod 4 $ $W-p \geq 3. $ $F_j$ son mayores de $1$ y estrictamente creciente.

Estos son todos de la forma $a^2 - p$ y son impares, por lo que el único de los números primos que pueden ser factores son cuadrática de los residuos de la $p.$ el Próximo, todos los $F_j$ son de primer a $p$ sí. Finalmente, todos estos son coprime. Así que, sin embargo, el factor, se obtiene una lista infinita de números primos que son residuos cuadráticos de $p.$

Answer 2

Por la reciprocidad cuadrática, $(p/q) = (-1)^{(p-1)/2}(-1)^{(q-1)/2}(q/p)$.

Deje $\chi$ ser la de Dirichlet carácter de director de orquesta $4p$$n \mapsto (-1)^{(n-1)/2}(n/p)$.

A continuación, la función de $q \mapsto (q/p)$ no es nada sino $q \mapsto (-1)^{(p-1)/2}\chi(q)$, casi un carácter de Dirichlet (es un carácter de Dirichlet si $p \equiv 1 \mod 4$ y menos un carácter de Dirichlet si $p \equiv 3 \mod 4$).

El carácter $\chi$ determina la división de los números primos en el cuadrática campo $K=\mathbf Q(\sqrt{p^*})$ donde $p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$. Más precisamente, el Dedekind zeta función de $\zeta_K(s)$ factores como $$\zeta_K(s) = \zeta(s)L(\chi,s).$$ Un sencillo cálculo muestra que la Dedekind zeta función de cualquier número de campo tiene una simple poste de $s=1$. Desde $\zeta(s)$ tiene una simple polo, debe ser el caso que $L(\chi,1)\neq 0, \infty$, en otras palabras la serie

$$0<\left|\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n}\right| <\infty.$$

Por la divergencia de la serie armónica esto implica que hay una infinidad de $n$ $\chi(n)=1$ y una infinidad de $n$ $\chi(n)=-1$ (y que están distribuidas de manera uniforme suficiente para que la serie converge). Utilizando el producto de Euler, vemos también que existen infinitos números primos con $\chi(q)=1$ y una infinidad de números primos con $\chi(q)=-1$.

Comentario: Este es, básicamente, una prueba de una versión primitiva de Cebotarev del teorema en este caso específico.